Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0．
（1）求證：無論m取何實數(shù)時，原方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若原方程的兩個實數(shù)根一個大于3，另一個小于8，求m的取值范圍；
（3）拋物線y=-x²+（5m+1）x-4m²-m與x軸交于點A、B（點A在點B的左側(cè)），現(xiàn)坐標系內(nèi)有一矩形OCDE，如圖，點C（0，-5），D（6，-5），E（6，0），當m取第（2）問中符合題意的最小整數(shù)時，將此拋物線上下平移|h|個單位，使平移后的拋物線與矩形OCDE有兩個交點，請結(jié)合圖形寫出h的取值或取值范圍（直接寫出答案即可）．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）判斷方程的根的情況，只要看根的判別式△=b²-4ac的值的符號就可以了．
（2）若方程x²+（5m+1）x+4m^2+m=0的兩個實根一個大于3，另一個小于8，則解關(guān)于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0求得方程的兩個根x₁，x₂，根據(jù)題意列出不等式組，解不等式組可得實數(shù)m的取值范圍．
（3）m取第（2）問中符合題意的最小整數(shù)是1，所以拋物線的解析式是y=-x²+6x-5頂點為（3，4）此時拋物線正好經(jīng)過C、D兩點，當拋物線向上平移5個單位拋物線正好經(jīng)過O、E兩點，當拋物線向下平移的頂點在矩形OCDE內(nèi)有兩個交點，即h=5或-4＜h＜-9．

解答：解：（1）證明：△=[-（5m+1）]²-4×1×（4m²+m）
=9m²+6m+1
=（3m+1）²
∵（3m+1）²≥0，
∴無論m取何實數(shù)時，原方程總有兩個實數(shù)根．
（2）解關(guān)于x的一元二次方程x²-（5m+1）x+4m²+m=0，
得 x₁=m，x₂=4m+1．
由題意得 

m＞3 4m+1＜8

或

m＜8 4m+1＞3

解得 

1

2

＜m＜8．

（3）h=5或-9＜h＜-4．
∵m取第（2）問中符合題意的最小整數(shù)是1，
∴拋物線的解析式是y=-x²+6x-5，
∴解析式y(tǒng)=-x²+6x-5的頂點為（3，4）
∵OC=ED=5，
∴拋物線向上移動5個單位長度正好經(jīng)過O、E兩點；

有2個交點，繼續(xù)向上平移沒有交點；
∴向下平移4個單位長度如圖所示，

有3個交點；
∴當向下平移大于4個單位長度，如圖所示，

有2個交點；
∴當繼續(xù)移動的如圖所示，

有一個交點；

點評：本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根；△＜0?方程沒有實數(shù)根．
根據(jù)已知條件結(jié)合一元二次方程根的個數(shù)與△的關(guān)系和韋達定理，構(gòu)造關(guān)于m的不等式是解答的關(guān)鍵．