Question

在平面直角坐標系中，過一點分別作坐標軸的垂線，若與坐標軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個點叫做和諧點．例如，圖中過點P分別作x軸，y軸的垂線，與坐標軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點P是和諧點．
（1）判斷點M（2

2

，4+2

2

）是否為和諧點，并說明理由；
（2）若和諧點P（a，3）在直線y=-x+b（b為常數(shù)）上，求a、b的值．

Answer 1

考點：一次函數(shù)圖象上點的坐標特征

專題：新定義

分析：（1）過M點分別作x軸和y軸的垂線，分別計算出垂線與坐標軸圍成矩形的周長=8

2

+8；與坐標軸圍成矩形的面積=8

2

+8，然后根據(jù)新定義進行判斷；
（2）先根據(jù)新定義得到2|a|+6=3|a|，解得a=6或-6，再利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到-a+b=3，即b=a+3，然后把a的值分別代入可計算出對應的a的值．

解答：解：（1）點M是和諧點．理由如下：
過M點分別作x軸和y軸的垂線，與坐標軸圍成矩形的周長=2（2

2

+4+2

2

）=8

2

+8；與坐標軸圍成矩形的面積=2

2

×（4+2

2

）=8

2

+8，
所以點M（2

2

，4+2

2

）是和諧點；
（2）∵點P（a，3）是和諧點，
∴2|a|+6=3|a|，
∴|a|=6，解得a=6或-6，
∵點P（a，3）在直線y=-x+b（b為常數(shù)）上，
∴-a+b=3，即b=a+3，
當a=6時，b=9；當a=-6時，b=-3，
∴a、b的值分別為6，9或-6，-3）．

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點坐標是（-bk，0）；與y軸的交點坐標是（0，b）；直線上任意一點的坐標都滿足函數(shù)關系式y(tǒng)=kx+b．