Question

在平面直角坐標(biāo)系中，過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長與面積相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)．例如，圖中過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長與面積相等，則點(diǎn)P是和諧點(diǎn)．
（1）判斷點(diǎn)M（2

2

，4+2

2

）是否為和諧點(diǎn)，并說明理由；
（2）若和諧點(diǎn)P（a，3）在直線y=-x+b（b為常數(shù)）上，求a、b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專題：新定義

分析：（1）過M點(diǎn)分別作x軸和y軸的垂線，分別計(jì)算出垂線與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長=8

2

+8；與坐標(biāo)軸圍成矩形的面積=8

2

+8，然后根據(jù)新定義進(jìn)行判斷；
（2）先根據(jù)新定義得到2|a|+6=3|a|，解得a=6或-6，再利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到-a+b=3，即b=a+3，然后把a(bǔ)的值分別代入可計(jì)算出對(duì)應(yīng)的a的值．

解答：解：（1）點(diǎn)M是和諧點(diǎn)．理由如下：
過M點(diǎn)分別作x軸和y軸的垂線，與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長=2（2

2

+4+2

2

）=8

2

+8；與坐標(biāo)軸圍成矩形的面積=2

2

×（4+2

2

）=8

2

+8，
所以點(diǎn)M（2

2

，4+2

2

）是和諧點(diǎn)；
（2）∵點(diǎn)P（a，3）是和諧點(diǎn)，
∴2|a|+6=3|a|，
∴|a|=6，解得a=6或-6，
∵點(diǎn)P（a，3）在直線y=-x+b（b為常數(shù)）上，
∴-a+b=3，即b=a+3，
當(dāng)a=6時(shí)，b=9；當(dāng)a=-6時(shí)，b=-3，
∴a、b的值分別為6，9或-6，-3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：一次函數(shù)y=kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-bk，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）；直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b．