Question

在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0），B（0，2），點(diǎn)P（x，y）在第一象限內(nèi)，且x+2y=4，設(shè)△AOP的面積是S． 
（1）寫(xiě)出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍；
（2）當(dāng)S=3時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若直線(xiàn)OP平分△AOB的面積時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A、P的坐標(biāo)求得△AOP的底邊OA與高線(xiàn)BC的長(zhǎng)度；然后根據(jù)三角形的面積公式即可求得S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將S=3代入（1）中所求的式子，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）由直線(xiàn)OP平分△AOB的面積，可知OP為△AOB的中線(xiàn)，點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解．

解答：解：∵x+2y=4，
∴y=

1

2

（4-x），
∴S=

1

2

×4×

1

2

（4-x）=4-x，即S=4-x．
∵點(diǎn)P（x，y）在第一象限內(nèi)，且x+2y=4，
∴

x＞0 1 2 (4-x)＞0

，
解得0＜x＜4；

（2）當(dāng)S=3時(shí)，4-x=3，
解得x=1，
此時(shí)y=

1

2

（4-1）=

3

2

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

3

2

）；

（3）若直線(xiàn)OP平分△AOB的面積，則點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)．
∵A（4，0），B（0，2），
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，三角形的面積，三角形中線(xiàn)的性質(zhì)，中點(diǎn)坐標(biāo)公式，難度適中．