Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A，點B，點C的坐標(biāo)分別為（5，0），（10，0），（0，-5）．
（1）求過點B，C兩點的一次函數(shù)解析式；
（2）若直線BC上有一動點P（m，n），以點O，A，P為頂點的三角形面積相等，求P點坐標(biāo)；
（3）若y軸上有一動點Q，使以點Q，A，C為頂點的三角形為等腰三角形，直接寫出Q點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）首先設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，由點B、點C坐標(biāo)分別為（10，0），（0，-5）．利用待定系數(shù)法即可求得過B、C兩點的一次函數(shù)解析式；
（2）由以點O、A、P為頂點的三角形面積和以點O、C、P為頂點的三角形面積相等，OA=OC，可得點P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值相等，即可求得P點坐標(biāo)；
（3）分別從AQ=CQ，AQ=AC，CQ=AC去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，
∵點B、點C坐標(biāo)分別為（8，0）、（0，-4）．
∴

10k+b=0 b=-5

，
解得：

k= 1 2 b=-5

．
故過B、C兩點的一次函數(shù)解析式為：y=

1

2

x-5：

（2）設(shè)P的坐標(biāo)為：（m，

1

2

m-5），
∵點A、點C坐標(biāo)分別為（5，0）、（0，-5）．
∴OA=OC=5，
∵以點O、A、P為頂點的三角形面積和以點O、C、P為頂點的三角形面積相等，
∴|

1

2

m-5|=|m|，
即

1

2

m-5=m或

1

2

m-5=-m，
解得：m=-10或m=

10

3

，
故P的坐標(biāo)為：（-10．-10）或（

10

3

，-

10

3

）；

（3）連接AC，
∵OA=OC=5，
∴AC=

OA2+OC2

=5

2

，
如圖所示：①若AQ=CQ，則點Q₁（0，0）；
②若AQ=AC，則點Q₂（0，5）；
③若CQ=AC=5

2

，則Q₃（0，5

2

-5）或Q₄（0，-5

2

-5）；
綜上可得：點Q的坐標(biāo)分別為：（0，0）、（0，5）、（0，5

2

-5）、（0，-5

2

-5）．

點評：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形面積問題．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．