Question

【題目】已知拋物線y=x2﹣2x+m﹣1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，且與y軸交于A點(diǎn)，如圖，設(shè)它的頂點(diǎn)為B．

（1）求m的值；
（2）過(guò)A作x軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)C，求證：△ABC是等腰直角三角形；

（3）將此拋物線向下平移4個(gè)單位后，得到拋物線C′，且與x軸的左半軸交于E點(diǎn)，與y軸交于F點(diǎn)，如圖．請(qǐng)?jiān)趻佄锞�C′上求點(diǎn)P，使得△EFP是以EF為直角邊的直角三角形．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=x2﹣2x+m﹣1與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，

∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m﹣1）=0，

解得，m=2

（2）

解：由（1）知拋物線的解析式為y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，易得頂點(diǎn)B（1，0），

當(dāng)x=0時(shí)，y=1，得A（0，1）．

由1=x2﹣2x+1，解得，x=0（舍）或x=2，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1）．

過(guò)C作x軸的垂線，垂足為D，則CD=1，BD=xD﹣xB=1．

∴在Rt△CDB中，∠CBD=45°，BC= ．

同理，在Rt△AOB中，AO=OB=1，于是∠ABO=45°，AB= ．

∴∠ABC=180°﹣∠CBD﹣∠ABO=90°，AB=BC，

因此△ABC是等腰直角三角形

（3）

解：由題知，拋物線C′的解析式為y=x2﹣2x﹣3，

當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣3；

當(dāng)y=0時(shí)，x=﹣1或x=3，

∴E（﹣1，0），F(xiàn)（0，﹣3），即OE=1，OF=3．

第一種情況：若以E點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，設(shè)此時(shí)滿足條件的點(diǎn)為P1（x1，y1），作P1M⊥x軸于M．

∵∠P1EM+∠OEF=∠EFO+∠OEF=90°，

∴∠P1EM=∠EFO，得Rt△EFO∽R(shí)t△P1EM，

則 ，即EM=3P1M．

∵EM=x1+1，P1M=y1，

∴x1+1=3y1①

由于P1（x1，y1）在拋物線C′上，

則有3（x12﹣2x1﹣3）=x1+1，

整理得，3x12﹣7x1﹣10=0，解得，

，或x2=﹣1（舍去）

把 代入①中可解得，

y1= ．

∴P1（ ， ）．

第二種情況：若以F點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，設(shè)此時(shí)滿足條件的點(diǎn)為P2（x2，y2），作P2N⊥y軸于N．

同第一種情況，易知Rt△EFO∽R(shí)t△FP2N，

得 ，即P2N=3FN．

∵P2N=x2，F(xiàn)N=3+y2，

∴x2=3（3+y2）②

由于P2（x2，y2）在拋物線C′上，

則有x2=3（3+x22﹣2x2﹣3），

整理得3x22﹣7x2=0，解得x2=0（舍）或 ．

把 代入②中可解得，

．

∴P2（ ， ）．

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)為：（ ， ）或（ ， ）．

【解析】（1）根據(jù)拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)可知△的值為0，由此得到一個(gè)關(guān)于m的一元一次方程，解此方程可得m的值；（2）根據(jù)拋物線的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)A點(diǎn)在y軸上求出A點(diǎn)坐標(biāo)，再求C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)得出△ABC為等腰直角三角形；（3）根據(jù)拋物線解析式求出E、F的坐標(biāo)，然后分別討論以E為直角頂點(diǎn)和以F為直角頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn))，還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減小)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．