Question

如圖，正方形ABCD的中心為O，BE平分∠DBC，交DC于點(diǎn)E，延長BC到點(diǎn)F，使CF=CE，連結(jié)DF，交BE的延長線于點(diǎn)G，連結(jié)OG．
（1）BE與DF有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）OG與BF有什么關(guān)系？證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)SAS，可得兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得∠CEB=∠F，BE=DF，再根據(jù)直角三角新的判定，可得答案；
（2）根據(jù)ASA，可得△DBG與△FBG的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得DG與FG的關(guān)系，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得答案．

解答：答：（1）BE=DF，BE⊥DF，
證明：∵ABCD是正方形，
∴BC=DC，∠BCD=90°．
在△BCE和△DCF中，

BC=DC ∠BCE=∠DCF CE=CF

，
∴△BCE≌△DCF（SAS），
∠CEB=∠F，BE=DF．
∵∠CEB=∠DEG，
∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，
∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BE⊥DF；
∴BE=DF，BE⊥DF；
（2）OG=

1

2

BF，OG∥BF．
證明：∵△BCE≌△DCF，
∴∠CEB=∠F，
∵∠CEB=∠DEG，
∴∠F=∠DEG，
∵∠F+∠GDE=90°，
∴∠DEG+∠GDE=90°，
∴BG⊥DF，
∴∠BGD=∠BGF=90°，
在△BGD和△BGF中，

∠BGD=∠BGF BG=BG ∠DBG=∠FBG

，
∴△BGD≌△BGF（ASA），
∴DG=GF，
∵O為正方形ABCD的中心，
∴DO=OB，
∴OG是△BOF的中位線，
∴OG=

1

2

BF，OG∥BF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定，三角形的中位線，題目稍有難度．