Question

【題目】如圖在△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)O在AC上，以AO為半徑的⊙O交AB于D， BD的垂直平分線交BD于F，交BC于E，連接DE．

（1）求證：DE是⊙O的切線；

（2）若∠B=30°，BC=，且AD∶DF=1∶2，求⊙O的直徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】試題分析：（1）直線DE與圓O相切，理由如下：連接OD，由OD=OA，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到∠ODE為直角，即可得證；

（2）易得△OAD是等邊三角形，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC=4，AB=8，設(shè)AD=m，則DF=BF=2m，由AB=8得m=,從而可得結(jié)果.

試題解析：(1)證明：連OD．

∵OD=OA，∴∠OAD=∠ODA

∵EF垂直平分DB，∴ED=EB，∴∠EDB=∠EBD

又∵∠A＋∠B=90°，∴∠ODA＋∠EDB=90°

∴∠ODE=90°，即OD⊥DE

∵點(diǎn)D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切線．

(2)解：∵∠B=30°，∴∠ A=60°，∴△OAD是等邊三角形

在Rt△ABC中：設(shè)AC=x，則AB=2x，由勾股定理，得

解得，x=4，∴AC=4，AB=8

設(shè)AD=m，則DF=BF=2m

由AB=AD＋2DF=m＋4m=8，得m=

∴⊙O的直徑=2AD=．