Question

已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，在BC上取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心、OB為半徑作圓，且⊙O過A點(diǎn)．
（Ⅰ）如圖①，求證：直線AC是⊙O的切線
（Ⅱ）如圖②，過點(diǎn)A作AD∥BC交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，求BD與OC之間的數(shù)量關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)和技術(shù)性的內(nèi)角和定理求出∠ABC和∠C的度數(shù)，求出∠BAO，求出∠OAC=90°，根據(jù)切線的判定求出即可；
（2）連接AE，求出∠AEB的度數(shù)，根據(jù)平行線求出∠DAO，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)求出∠D，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理求出∠DAO，根據(jù)平行四邊形的判定得出?BOAD，則BD=AO=

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2

OC．

解答：（1）證明：如圖①，∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠C=

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2

（180°-∠BAC）=30°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=30°，
∴∠OAC=120°-30°=90°，
即OA⊥AC，
∵OA為⊙O的半徑，
∴AC是⊙O的切線．

（2）證明：如圖②，連接AE．
由（1）知，OA⊥AC，∠C=30°，
∴AO=

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2

OC
∵∠AOB=∠C+∠OAC=30°+90°=120°，
∴由圓周角定理得：∠AEB=

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∠AOB=60°，
∵D、B、E、A四點(diǎn)共圓，
∴∠D+∠AEB=180°，
∴∠ADB=120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAO+∠BOA=180°，
∴∠DAO=60°，
∴∠DBO=360°-60°-120°-120°=60°，
即∠D=∠BOA，∠DBO=∠DAO，
∴四邊形BOAD是平行四邊形，
∵BD=AO=

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2

OC，即BD=

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2

OC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、切線的判定、平行四邊形的判定、平行線性質(zhì)、圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形，本題主要考查了學(xué)生的推理能力，是一道比較好的題目．