Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過A（-

3

，b），過點A作AB⊥x軸于點B．△AOB的面積為

3

．
（1）求k和b的值．
（2）若一次函數(shù)y=ax+1的圖象經(jīng)過點A，并且與x軸交于點M，求：AO：AM．
（3）以AM為一邊作正△AMP，求P點的坐標．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)△AOB的面積得

1

2

•

3

•b=

3

，解得b=2，然后把A（-

3

，2）代入y=

k

x

即可求出k；
（2）把A（-

3

，2）代入y=ax+1中求出a，再確定M點坐標為（

3

，0），然后利用勾股定理計算出OA=

7

，AM=4，則OA：AM=

7

：4；
（3）在Rt△ABM中，AM=4，AB=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得∠AMB=30°，∠BAM=60°，再利用等邊三角形的性質(zhì)得∠AMP=60°，PM=AM=4，所以∠OMP=90°，則P點坐標為（

3

，4）；延長AB到P′P，使AP′=AM=4，可判斷△AMP′為等邊三角形，于是得到P′點坐標為（-

3

，-2），所以P點的坐標為（

3

，4）、（-

3

，-2）．

解答：解：（1）∵A（-

3

，b），△AOB的面積為

3

，
∴

1

2

•

3

•b=

3

，
∴b=2，
把A（-

3

，2）代入y=

k

x

，
∴k=-

3

×2=-2

3

；
（2）把A（-

3

，2）代入y=ax+1得-

3

a+1=2，解得a=-

3

3

，
∴y=-

3

3

x+1，
∴M點坐標為（

3

，0），
在Rt△AOB中，OA=

AB2+OB2

=

22+( 3 )2

=

7

，
在Rt△ABM中，AM=

AB2+BM2

=

22+(2 3 )2

=4，
∴OA：AM=

7

：4；
（3）在Rt△ABM中，AM=4，AB=2，
∴∠AMB=30°，∠BAM=60°，
∵△PAM為等邊三角形，
∴∠AMP=60°，PM=AM=4，
∴∠OMP=90°，
∴P點坐標為（

3

，4）；
延長AB到P′P，使AP′=AM=4，則△AMP′為等邊三角形，
∵BP′=4-2=2，
∴P′點坐標為（-

3

，-2），
∴P點的坐標為（

3

，4）、（-

3

，-2）．

點評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點坐標滿足兩函數(shù)解析式．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．