Question

如圖，在△ABC中，∠ACB=2∠B，射線AO平分∠BAC，交BC于點D，直線l⊥AO于H交直線AB于點N，交直線AC于點E．

（1）當(dāng)直線l過點C時，如圖1，判斷BN與CD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)直線l過點D時，如圖2，線段BN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系為

 

，并證明；
（3）當(dāng)點E在線段上AC上時（點E與A、C不重合），如圖3，試判斷線段BN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)論，不用證明）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何綜合題

分析：（1）連接DN，利用“角邊角”證明△AHN和△AHC全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得NH=CH，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ANH=∠ACH，從而得到AD是NC的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得DN=CD，根據(jù)等邊對等角可得∠DNC=∠DCN，然后求出∠AND=∠ACB，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠B+∠BDN=∠AND，然后求出∠B=∠BDN，根據(jù)等角對等邊可得BN=DN，從而得解；
（2）同（1）可求∠AND=∠AED，DN=DE，在AN上截取NF=CE，利用“邊角邊”證明△CDE和△FDN全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=CD，F(xiàn)N=CE，全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DFN=∠DCE，然后求出∠AFD=∠ACB，再根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠B+∠BDF=∠AFD，然后求出∠B=∠BDF，根據(jù)等角對等邊可得BF=DF，從而得到BN+CE=CD；
（3）連接DN、DE，同（1）可求DN=DE，∠AND=∠AED，在BN上截取NF，使NF=CE，同（2）求出BF=DF，從而得到BN-CE=CD．

解答：解：（1）如圖，連接DN，∵l⊥AO，
∴∠AHN=∠AHC=90°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO=∠CAO，
在△AHN和△AHC中，

∠AHN=∠AHC=90° AH=AH ∠BAO=∠CAO

，
∴△AHN≌△AHC（ASA），
∴NH=CH，∠ANH=∠ACH，
∴AD是NC的垂直平分線，
∴DN=CD，
∴∠DNC=∠DCN，
∵∠AND=∠ANH+∠DNC，
∠ACB=∠ACH+∠DCN，
∴∠AND=∠ACB，
∵∠B+∠BDN=∠AND，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDN，
∴BN=DN，
∴BN=CD；

（2）BN+CE=CD．
理由如下：同（1）可求∠AND=∠AED，DN=DE，
在AN上截取NF=CE，
在△CDE和△FDN中，

DN=DE ∠AND=∠AED NF=CE

，
∴△CDE≌△FDN（SAS），
∴DF=CD，F(xiàn)N=CE，∠DFN=∠DCE，
∵∠AFD+∠DFN=180°，∠ACB+∠DCE=180°，
∴∠AFD=∠ACB，
∵∠B+∠BDF=∠AFD，∠ACB=2∠B，
∴∠B=∠BDF，
∴BF=DF=CD，
∵BN+NF=BF，
∴BN+CE=CD；

（3）如圖，連接DN、DE，同（1）可求DN=DE，∠AND=∠AED，
在BN上截取NF，使NF=CE，同（2）可求BF=DF=CD，
∵BN-NF=BF，
∴BN-CE=CD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點，此類題目通常后面小題的思路與第一小題的思路相同．