Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-x-1分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B，交雙曲線于點(diǎn)C（3，n）．拋物線y=ax2+

3

2

x+c(a≠0)過(guò)點(diǎn)B，且與該雙曲線交于點(diǎn)D，點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-3．
（1）求該雙曲線與拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)P為該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)Q為該雙曲線上一點(diǎn)，且P、Q兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)都為-2，求線段PQ的長(zhǎng)；
（3）若點(diǎn)M沿直線從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，再沿雙曲線從點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)N．設(shè)線段MN的長(zhǎng)度為d，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，直接寫出d的最大值，以及d隨m的增大而減小時(shí)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式，再求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)拋物線和雙曲線解析式求出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，然后根據(jù)平行于x軸的直線上兩點(diǎn)間的距離的求法求解即可；
（3）分點(diǎn)M在AB、BC、CD上三種情況，根據(jù)直線、拋物線和雙曲線的解析式表示出d，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性解答．

解答：解：（1）令y=0，則-x-1=0，
解得x=-1，
令x=0，則y=-1，
所以，點(diǎn)A（-1，0），B（0，-1），
x=3時(shí)，y=-3-1=-4，
所以，點(diǎn)C（3，-4），
設(shè)雙曲線解析式為y=

k

x

（k≠0），
則

k

3

=-4，
解得k=-12，
所以，雙曲線解析式為y=-

12

x

，
∵點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為-3，
∴-

12

x

=-3，
解得x=4，
∴點(diǎn)D（4，-3），
∵拋物線y=ax²+

3

2

x+c過(guò)點(diǎn)B、D，
∴

c=-1 16a+ 3 2 ×4+c=-3

，
解得

a=- 1 2 c=-1

，
∴拋物線的解析式為y=-

1

2

x²+

3

2

x-1；

（2）當(dāng)y=-2時(shí)，-

1

2

x²+

3

2

x-1=-2，
整理得，x²-3x-2=0，
解得x₁=

3+ 17

2

，x₂=

3- 17

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3+ 17

2

，-2）或（

3- 17

2

，-2），
-

12

x

=-2，
解得x=6，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6，-2），
∴PQ=6-

3+ 17

2

=

9- 17

2

或PQ=6-

3- 17

2

=

9+ 17

2

；

（3）①點(diǎn)M在AB上時(shí)，-1＜m＜0，
d=MN=（-m-1）-（-

1

2

m²+

3

2

m-1）=

1

2

m²-

5

2

m=

1

2

（m-

5

2

）²-

25

8

，
∴d隨m的增大而減小，
②點(diǎn)M在BC上時(shí)，0＜m＜3，
d=MN=（-

1

2

m²+

3

2

m-1）-（-m-1）=-

1

2

m²+

5

2

m=-

1

2

（m-

5

2

）²+

25

8

，
∴m=

5

2

時(shí)，d有最大值為

25

8

，

5

2

＜m＜3時(shí)，d隨m的增大而減小，
③點(diǎn)M在CD上時(shí)，3＜m＜4，
d=MN=（-

1

2

m²+

3

2

m-1）-（-

12

m

）=-

1

2

m²+

3

2

m+

12

m

-1，
由圖可知，d隨m的增大而減小，
綜上所述，d的最大值是

25

8

，-1＜m＜0，

5

2

＜m＜3，3＜m＜4時(shí)，d隨m的增大而減小．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式（包括二次函數(shù)解析式，反比例函數(shù)解析式），二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的增減性，綜合題，但難點(diǎn)不大，（2）要注意點(diǎn)P有兩個(gè)，（3）要注意分情況討論．