Question

已知E，D，F(xiàn)，G分別是AB，AC，BO，CO的中點(diǎn)，當(dāng)AB=AC時(shí)，證明：四邊形DEFG為矩形．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線定理,矩形的判定

專題：證明題

分析：ED和FG分別是△ABC和△OBC的中位線，根據(jù)三角形的中位線定理即可證明DE∥FG且DE=FG，則四邊形DEFG是平行四邊形，然后證明△BCD≌△CBE，根據(jù)等角對(duì)等邊證明OB=OC，則DF=EG，根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形即可判斷．

解答：證明：∵E，D分別是AB，AC，BO的中點(diǎn)，及DE是△ABC的中位線，
∴DE∥BC，且DE=

1

2

BC，
同理FG∥BC，且FG=

1

2

BC．
∴DE∥FG且DE=FG．
∴四邊形DEFG是平行四邊形．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵ED是AB和AC的中點(diǎn)，
∴BE=CD，
在△BCD和△CBE中，

BE=CD ∠ABC=∠ACB BC=CB

，
∴△BCD≌△CBE，
∴BD=CE，∠OBC=∠OCB，
∴OB=OC，
又∵F、G是OB和OC的中點(diǎn)，
∴BF=CG，
∴DF=EG，
∴平行四邊形DEFG是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)，證明DF=EG是解決本題的關(guān)鍵．