如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與拋物線y=ax2+bx-3(a≠0)交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為5.點(diǎn)P是直線AB下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線AB于點(diǎn)C,作PD⊥AB于點(diǎn)D.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
①用含m的代數(shù)式表示線段PD的長,并求出線段PD長的最大值;
②連結(jié)PB,線段PC把△PDB分成兩個(gè)三角形,是否存在適合的m的值,使這兩個(gè)三角形的面積比為1:2.若存在,直接寫出m的值;若不存在,請說明理由.
(1);(2)①;;②0或3.

試題分析:(1)在y=x+1中,當(dāng)y=0時(shí),x=-1;當(dāng)y=5時(shí),x=4,依此可得A與B的坐標(biāo);將A與B坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a與b的值,即可確定出拋物線解析式;
(2)①設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)E,由CP與y軸平行,得到∠ACP=∠AEO,求出AE與OA的長,得出sin∠AEO的值,即為sin∠ACP的值,由P的橫坐標(biāo)為m,分別代入直線與拋物線解析式得到兩個(gè)縱坐標(biāo)之差為PC的長,由PD=PCsin∠ACP表示出PD,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出PD的最大值即可;
②存在,過D作DF⊥CP,過B作BG⊥PQ,交PC延長線與點(diǎn)Q,表示出DF與BG,進(jìn)而表示出三角形DCP面積與三角形BCP面積,根據(jù)面積之比為1:2列出關(guān)于m的方程,求出方程的解得到m的值即可.
試題解析:(1)在中,當(dāng)y=0時(shí),x=-1;當(dāng)y=5時(shí),x=4.
∴A(-1,0)、B(4,5) .
將A(-1,0)、B(4,5)分別代入y=ax2+bx-3中,得
,解得
∴所求解析式為.
(2)①設(shè)直線AB交y軸于點(diǎn)E,求得E(0,1),∴OA=OE,∠AEO=45°,∠ACP=∠AEO="45°,"
. 
設(shè),則,


∴PD的最大值為
②當(dāng)m=0或m=3時(shí),PC把△PDB分成兩個(gè)三角形的面積比為1:2.
如圖,過D作DF⊥CP,過B作BG⊥PQ,交PC延長線與點(diǎn)Q,
∵sin∠ACP=,∴cos∠ACP=.
在Rt△PDF中,DF=DP•sin∠DPC=DP•cos∠ACP=.
又∵BG=4-m,
.
當(dāng)時(shí),解得:m=0;
當(dāng) 2時(shí),解得:m=3.
故當(dāng)m=0或m=3時(shí),PC把△PDB分成兩個(gè)三角形的面積比為1:2.
練習(xí)冊系列答案
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將二次函數(shù)y=x2的圖象向右平移1個(gè)單位,再向上平移2個(gè)單位后,所得圖象的函數(shù)表達(dá)式是(  )
A.y=(x﹣1)2+2B.y=(x+1)2+2C.y=(x﹣1)2﹣2D.y=(x+1)2﹣2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)(-6,-2),與y軸交于點(diǎn)C,且對稱軸與x軸交于點(diǎn)B(-2,0),頂點(diǎn)為A.
(1)求該拋物線的解析式和A點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D是該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且使△DBC是以B為直角頂點(diǎn)BC為腰的等腰直角三角形,求點(diǎn)D坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M是第二象限內(nèi)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)M的直線MN與y軸交于點(diǎn)N,是否存在以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△OMB全等?若存在,請求出直線MN的解析式;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

二次函數(shù)y=的圖象如圖,點(diǎn)A0位于坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A1,A2,A3…An在y軸的正半軸上,點(diǎn)B1,B2,B3…Bn在二次函數(shù)位于第一象限的圖象上,點(diǎn)C1,C2,C3…Cn在二次函數(shù)位于第二象限的圖象上,四邊形A0B1A1C1,四邊形A1B2A2C2,四邊形A2B3A3C3…四邊形An﹣1BnAnCn都是菱形,∠A0B1A1=∠A1B2A1=∠A2B3A3…=∠An1BnAn
=60°,菱形An﹣1BnAnCn的周長為     

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)M作x軸的垂線,與直線AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊,當(dāng)矩形PQMN的周長最大時(shí),求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時(shí),連接DQ.過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方).若FG=DQ,求點(diǎn)F的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知OA=2,OC=4,⊙M與軸相切于點(diǎn)C,與軸交于A,B兩點(diǎn),∠ACD=90°,拋物線經(jīng)過A,B,C三點(diǎn).
(1)求證:∠CAO=∠CAD;
(2)求弦BD的長;
(3)在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P使ΔPBC是以BC為腰的等腰三角形?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且對稱軸為x=1,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0).則下面的四個(gè)結(jié)論:①2a+b=0;②4a+2b+c>0 ③B點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0);④當(dāng)x<-1時(shí),y>0.其中正確的是

A.①②      B.③④     C.①④      D.②③ 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:單選題

拋物線可以由拋物線平移得到,則下列平移過程正確的是
A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位
B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)位
C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位
D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

已知二次函數(shù)中,函數(shù)y與x的部分對應(yīng)值如下:

...
-1
0
1
2
3
...

...[
10
5
2
1
2[
...
 
則當(dāng)時(shí),x的取值范圍是       .

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