已知拋物線y=x2+bx+c過點(diǎn)(-6,-2),與y軸交于點(diǎn)C,且對稱軸與x軸交于點(diǎn)B(-2,0),頂點(diǎn)為A.
(1)求該拋物線的解析式和A點(diǎn)坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)D是該拋物線上的一個動點(diǎn),且使△DBC是以B為直角頂點(diǎn)BC為腰的等腰直角三角形,求點(diǎn)D坐標(biāo);
(3)若點(diǎn)M是第二象限內(nèi)該拋物線上的一個動點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)M的直線MN與y軸交于點(diǎn)N,是否存在以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△OMB全等?若存在,請求出直線MN的解析式;若不存在,請說明理由.
(1)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2,6);
(2)D點(diǎn)的坐標(biāo)為:(2,﹣2);
(3)存在.直線MN的解析式為y=6或y=﹣x+2.

試題分析:(1)首先依據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)先求出b的值,然后利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式;
(2)過B點(diǎn)作CB的垂線交拋物線與D,然后過D點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為E,通過三角形全等即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)由于三角形的各邊,只有OB=2是確定長度的,因此可以以O(shè)B為基準(zhǔn)進(jìn)行分類討論:
①OB=OM.因?yàn)榈诙笙迌?nèi)點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離均大于4,因此OB≠OM,此種情形排除;
②OB=ON.分析可知,只有如答圖2所示的情形成立;
③OB=MN.分析可知,只有如答圖3所示的情形成立.
試題解析:(1)∵對稱軸與x軸交于點(diǎn)B(﹣2,0),
∴A的橫坐標(biāo)為:x=﹣2,
∴﹣=﹣2,
解得;b=﹣2,
∴拋物線為y=﹣x2﹣2x+c,
∵拋物線y=﹣x2+bx+c過點(diǎn)(﹣6,﹣2),
∴代入得﹣2=﹣×(﹣6)2﹣2×(﹣6)+c,解得c=4,
∴該拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+4,
∴y=﹣x2﹣2x+4=﹣(x2+4x+4)+6)=﹣(x+2)2+6
∴A點(diǎn)的坐標(biāo)為(﹣2,6);
(2)過B點(diǎn)作CB的垂線交拋物線與D,然后過D點(diǎn)作x軸的垂線,垂足為E,
∵∠CBD=90°,
∴∠CBO+∠EBD=90°,
∵∠BCO+∠CBO+90°,
∴∠EBD=∠BCO,∠CBO=∠BDE,
∴在△CBO與△BDE中

∴△CBO≌△BDE(ASA)
∴DE=OB=2,BE=OC=4
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,﹣2)或(﹣6.2),
把(2,﹣2)或(﹣6.2)分別代入y=﹣x2﹣2x+4,(﹣2,2)合適,(﹣6,2)不合適,
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為:(2,﹣2)

圖1
(3)存在.
若以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△OBM全等,可能有以下情形:
(I)OB=OM.
由圖象可知,OM最小值為4,即OM≠OB,故此種情形不存在.
(II)OB=ON.
若點(diǎn)M在y軸正半軸上,如答圖2所示:

圖2
此時△OBM≌△OMN,
∴∠OMB=∠OMN,即點(diǎn)P在第二象限的角平分線上,ON=OB=2,M點(diǎn)坐標(biāo)為:(4,4),
∴直線PE的解析式為:y=﹣x+2;
若點(diǎn)E在y軸負(fù)半軸上,易知此種情形下,兩個三角形不可能全等,故不存在.
(III)OB=MN.
∵OB=2,
∴第二象限內(nèi)對稱軸左側(cè)的點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離均大于2,
則點(diǎn)M只能位于對稱軸右側(cè)或與頂點(diǎn)A重合.
若點(diǎn)M位于第二象限內(nèi)拋物線對稱軸的右側(cè),易知△OMN為鈍角三角形,而△OMB為銳角三角形,則不可能全等;
若點(diǎn)M與點(diǎn)A重合,如答圖3所示,此時△OBM≌△OMN,四邊形MNOB為矩形,

圖3
∴直線MN的解析式為:y=6.
綜上所述,存在以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△OMB全等,直線MN的解析式為y=6,y=﹣x+2.
練習(xí)冊系列答案
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時間x(單位:年,x為正整數(shù))
1
2
3
4
5

單位面積租金z(單位:元/平方米)
50
52
54
56
58
 
 
(1)求出z與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)第x年政府投入使用的并軌房收取的租金為W百萬元,請問政府在第幾年投入使用的并軌房收取的租金最多,最多為多少百萬元?

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已知:矩形ABCD中,M為BC邊上一點(diǎn), AB=BM=10,MC=14,如圖1,正方形EFGH的頂點(diǎn)E和點(diǎn)B重合,點(diǎn)F、G、H分別在邊AB、AM、BC上.如圖2,P為對角線AC上一動點(diǎn),正方形EFGH從圖1的位置出發(fā),以每秒1個單位的速度沿BC向點(diǎn)C勻速移動;同時,點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā),以每秒1個單位的速度沿CA向點(diǎn)A勻速移動.當(dāng)點(diǎn)F到達(dá)線段AC上時,正方形EFGH和點(diǎn)P同時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為t秒,解答下列問題:
(1)在整個運(yùn)動過程中,當(dāng)點(diǎn)F落在線段AM上和點(diǎn)G落在線段AC上時,分別求出對應(yīng)t的值;
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(2)設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
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(1)求拋物線的解析式;
(2)點(diǎn)E是線段AC上一動點(diǎn),過點(diǎn)E作DE⊥x軸于點(diǎn)D,連結(jié)DC,當(dāng)△DCE的面積最大時,求點(diǎn)D的坐標(biāo);
(3)在直線BC上是否存在一點(diǎn)P,使△ACP為等腰三角形,若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,說明理由。

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