△ABC中,AD是高,AD與AB的夾角為銳角α,Rt△ADC的面積和周長都為30,又x1、x2是關(guān)于x的方程8x2-4x-2cosα+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且,求:
(1)cosa的值.
(2)AD和AC的長(“三角函數(shù)的值”的有關(guān)“代數(shù)式”作為方程的系數(shù))
【答案】分析:(1)根據(jù)一元二次方程根的判別式以及余弦的定義,得到cosα的范圍,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出cosα的值.
(2)在直角三角形中根據(jù)周長和面積都是30,可以列出兩個(gè)方程,然后利用勾股定理計(jì)算能求出AD和AC的值.
解答:解:(1)因?yàn)榉匠逃袃蓚(gè)實(shí)數(shù)根,所以判別式為非負(fù)數(shù).
△=16-4×8(-2cosα+1)≥0,
得到:cosα≥
∵0<cosα<1,
≤cosα<1.
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系有:
x1+x2=,x1x2=
32(x13x22+x12x23)=
32(x1x22(x1+x2)=
32××=
整理得:-2cosα+1=±
∴cosα=,cosα=-(舍去);

(2)根據(jù)直角三角形的周長和面積都是30以及勾股定理,得到:
AD+DC=30-AC  ①
AD•DC=60     ②
AD2+DC2=AC2=(AD+DC)2-2AD•DC
∴AC2=(30-AC)2-120
解得:AC=13.
∴有①②有:
AD+DC=17
AD•DC=60
解得:AD=5,DC=12,或AD=12,DC=5
故AC的長為13,AD的長為5或12.
點(diǎn)評:本題考查的是三角函數(shù)的定義,(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義一元二次方程根的判別式得到cosα的取值范圍,然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求出cosα的值.(2)根據(jù)直角三角形的周長和面積,運(yùn)用勾股定理可以求出直角三角形的斜邊和直角邊.
練習(xí)冊系列答案
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精英家教網(wǎng)在△ABC中,AD是高,矩形PQMN的頂點(diǎn)P、N分別在AB、AC上,QM在邊BC上.若BC=8cm,AD=6cm,且PN=2PQ,求矩形PQMN的周長.

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28、如圖所示:△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分線,它們相交于點(diǎn)O,∠BAC=60°,∠C=70°,求∠CAD,∠BOA的度數(shù)是多少?

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如圖,在△ABC中,AD是高,BE平分∠ABC,∠ABE=20°,∠DAC=30°,求∠C及∠BEC的度數(shù).

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如圖:△ABC中,AD是高線,CE是中線,且AB=8cm,G是CE的中點(diǎn),DG⊥CE,G為垂足,則CD=
4
4
cm.

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(1)如圖1,已知:AB∥CD,OE平分∠AOD,OF⊥OE于O,∠D=60°,求∠BOF的度數(shù).
(2)如圖2,在△ABC中,AD是高,AE、BF是角平分線,它們相交于點(diǎn)O,∠BAC=50°,∠C=70°,求∠DAC,∠BOA.

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