Question

如圖①，已知直線y=x+b與y軸交于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于點(diǎn)A，拋物線y=ax²+2ax+c過點(diǎn)C、A，且與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求直線與拋物線的函數(shù)關(guān)系式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P位于直線AC上方，連結(jié)PA，PC，求△APC的面積的最大值；
（3）如圖②，將該拋物線在x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸的下方，與原拋物線沒有變化的部分構(gòu)成一個(gè)新圖象，過點(diǎn)B作直線l與新圖象交于另外的兩點(diǎn)M、N（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），是否存在這樣的直線l，使得△ABM的面積被AN恰好平分？若存在，請求出直線l的函數(shù)關(guān)系式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)直線y=x+b過點(diǎn)C（0，3），可得b=3，求直線的函數(shù)關(guān)系式，從而得到A（-3，0），再將A，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+2ax+c，可得c=3，a=-1，從而得到拋物線的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)一步得到拋物線與x軸另一交點(diǎn)B（1，0）．
（2）設(shè)P（p，-p²-2p+3），-3＜p＜0，直線x=p交AC：y=x+3于D（p，p+3），根據(jù)三角形面積公式得到S_△APC=

1

2

DP（x_C-x_A）=

3

2

（-p²-3p）=（-

3

2

（p+

3

2

）²+

27

8

，從而得到△APC的面積的最大值．
（3）設(shè)直線l：y=k（x-1）②，代入①，x²+（k+2）x-k-3=0，解得x=1或-k-3，將該拋物線在x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸的下方，得到拋物線y=x²+2x-3（-3＜x＜0）③，把②代入③得，x²+（2-k）x+k-3=0，解得x=1或k-3，∴x_N=k-3，根據(jù)△ABM的面積恰好被AN平分，可得MN=NB，得到關(guān)于k的方程，解方程即可求得直線l的函數(shù)關(guān)系式．

解答：解：（1）直線y=x+b過點(diǎn)C（0，3），
∴b=3，
故直線的函數(shù)關(guān)系式為y=x+3，
它與x軸交于點(diǎn)A（-3，0），
拋物線y=ax²+2ax+c過A，C，
∴c=3，
0=3a+3，
解得a=-1．
∴拋物線的解析式是y=-x²-2x+3①，
它與x軸交于另一點(diǎn)B（1，0）．
（2）設(shè)P（p，-p²-2p+3），-3＜p＜0，
直線x=p交AC：y=x+3于D（p，p+3），
∴S_△APC=

1

2

DP（x_C-x_A）=

3

2

（-p²-3p）=（-

3

2

（p+

3

2

）²+

27

8

，
∴△APC的面積的最大值是

27

8

．
（3）設(shè)直線l：y=k（x-1）②，
代入①，x²+（k+2）x-k-3=0，
解得x=1或-k-3，
∴x_M=-k-3，
將該拋物線在x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸的下方，得到拋物線y=x²+2x-3（-3＜x＜1）③，
把②代入③得，x²+（2-k）x+k-3=0，
解得x=1或k-3，
∴x_N=k-3，
△ABM的面積恰好被AN平分，
∴MN=NB，
∴k-3-（-k-3）=1-（k-3），
2k=4-k，
解得k=

4

3

．
故直線l的函數(shù)關(guān)系式是y=

4

3

x-

4

3

．

點(diǎn)評：考查了二次函數(shù)綜合題，涉及了待定系數(shù)法求直線與拋物線的函數(shù)關(guān)系式，三角形的面積，函數(shù)的最值，折疊的性質(zhì)，方程思想的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．