Question

如圖，在☉O上位于直徑AB的異側(cè)有定點C和動點P，AC=2AB，點P在半圓弧AB上運動（不與A、B兩點重合），過點C作直線PB的垂線CD交PB于點D．

（1）如圖1，求證：△PCD∽△ABC；
（2）當點P運動到什么位置時，△PCD≌△ABC？請在圖2中畫出△PCD，并說明理由．
（3）如圖3，當點P運動到CP⊥AB時，求∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：（1）由AB是⊙O的直徑，根據(jù)直徑對的圓周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由PD⊥CD，可得∠D=∠ACB，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，即可得∠A=∠P，根據(jù)有兩角對應相等的三角形相似，即可判定：△PCD∽△ABC；
（2）由△PCD∽△ABC，可知當PC=AB時，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等即可求得；
（3）由∠ACB=90°，AC=

1

2

AB，可求得∠ABC的度數(shù)，然后利用相似，即可得∠PCD的度數(shù)，又由垂徑定理，求得=

AC=

AP

，然后利用圓周角定理求得∠ACP的度數(shù)，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵PD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠D=∠ACB，
∵∠A與∠P是

BC

對的圓周角，
∴∠A=∠P，
∴△PCD∽△ABC；

（2）解：當PC是⊙O的直徑時，△PCD≌△ABC，
理由：∵AB，PC是⊙O的直徑，
∴∠PBC=∠ACB=90°，AB=PC，
∵∠A=∠P
在△PCD和△ABC中，

∠P=∠A ∠PDC=∠ACB AB=PC

，
∴△PCD≌△ABC（AAS）；

（3）解：∵∠ACB=90°，AC=

1

2

AB，
∴∠ABC=30°，
∵△PCD∽△ABC，
∴∠PCD=∠ABC=30°，
∵CP⊥AB，AB是⊙O的直徑，
∴

AC

=

AP

，
∴∠ACP=∠ABC=30°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACP-∠PCD=90°-30°-30°=30°．

點評：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．