Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3).

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t（0＜t＜3），過(guò)點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D. ① 求線段PD的長(zhǎng)的最大值；② 當(dāng)BD=2CD時(shí)，求t的值；

（3）若點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線上存在點(diǎn)M，使得以B、C、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) y=-x2+2x+3;(2)①;②2;(3) (2,3)或(4,-5)或(-2,-5).

【解析】試題分析: （1）將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=a（x+1）（x-3）即可求出拋物線的解析式．

（2）①過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，求出△PBC的最大面積，即可求出PD的最大值．

②過(guò)點(diǎn)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，由于DG∥OC，從而可知，從而可求出t的值．

（3）由于BC是B、C、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形中的一條固定的線段，因此將此線段分為平行四邊形的邊和對(duì)角線進(jìn)行討論即可求出M的坐標(biāo)．

試題解析:

（1）設(shè)拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為

將A（-1，0），B（3，0），C（0，3）代入得：

解得：

∴拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為

（2）①設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t， ）

過(guò)P作PN⊥x軸于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E

設(shè)直線BC解析式為y=kx+b

把B（3，0），C（0，3）代入y=kx+b得

解得：k=-1,b=3

∴直線BC解析式為y=-x+3

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（t， ）

PE=-（）=

∵OB=OC=3，∴∠OBC=45°

∵PD⊥BC

∴∠PED=45°

∴PD=PE×sin45°=PE=（）=-

∴當(dāng)t=時(shí)，PD的最大面積為

②過(guò)D作DG⊥x軸于點(diǎn)G，則DG∥OC

∴△BOC∽△BGD

∴

當(dāng)BD=2CD時(shí)，BD：BC=2：3

∴DG=2，即點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為2

把y=2代入y=-x+3得x=1

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）

設(shè)直線PD解析式為：y=x+b

把D（1，2）代入上式得：

2=1+b,

解得：b=1

∴直線PD解析式為y=x+1

解方程組得： ， （ 舍去）

∴當(dāng)BD=2CD時(shí),t的值為2

{或∵△PDE是等腰直角三角形，∴）

即，

解得： ， （ 舍去）}

（3）∵點(diǎn)Q是拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x=1上的動(dòng)點(diǎn)，

∴點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1,

∵點(diǎn)M在拋物線上，∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m， ）

（I）如圖，當(dāng)BC、QM為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

可得：

即：3=1+m,

∴m=2

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（2，3）

（II）如圖，當(dāng)BQ、MC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

可得：

即：3+1=m,

∴m=4

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（4，-5）

（III）如圖，當(dāng)BM、QC為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

可得：

即：3+m=1,

∴m=-2

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（-2，-5）

綜合以上所述，滿足平行四邊形的點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，3）或（4，-5）或（-2，-5）

點(diǎn)睛: 本題難度較大，考查的是二次函數(shù)圖象與解析式的靈活運(yùn)用，一般這樣題目都是作為壓軸題出現(xiàn)，考生平時(shí)應(yīng)多積累二次函數(shù)的綜合知識(shí)．