【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C(0,3).
(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)設(shè)拋物線上的一個動點P的橫坐標(biāo)為t(0<t<3),過點P作PD⊥BC于點D. ① 求線段PD的長的最大值;② 當(dāng)BD=2CD時,求t的值;
(3)若點Q是拋物線的對稱軸上的動點,拋物線上存在點M,使得以B、C、Q、M為頂點的四邊形為平行四邊形,請求出所有滿足條件的點M的坐標(biāo).
【答案】(1) y=-x2+2x+3;(2)①;②2;(3) (2,3)或(4,-5)或(-2,-5).
【解析】試題分析: (1)將A、B、C三點的坐標(biāo)代入y=a(x+1)(x-3)即可求出拋物線的解析式.
(2)①過點P作PE⊥x軸于點E,交BC于點F,求出△PBC的最大面積,即可求出PD的最大值.
②過點D作DG⊥x軸于點G,由于DG∥OC,從而可知,從而可求出t的值.
(3)由于BC是B、C、Q、M為頂點的四邊形中的一條固定的線段,因此將此線段分為平行四邊形的邊和對角線進行討論即可求出M的坐標(biāo).
試題解析:
(1)設(shè)拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為
將A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入得:
解得:
∴拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為
(2)①設(shè)點P的坐標(biāo)為(t, )
過P作PN⊥x軸于點F,交BC于點E
設(shè)直線BC解析式為y=kx+b
把B(3,0),C(0,3)代入y=kx+b得
解得:k=-1,b=3
∴直線BC解析式為y=-x+3
∴點E坐標(biāo)為(t, )
PE=-()=
∵OB=OC=3,∴∠OBC=45°
∵PD⊥BC
∴∠PED=45°
∴PD=PE×sin45°=PE=()=-
∴當(dāng)t=時,PD的最大面積為
②過D作DG⊥x軸于點G,則DG∥OC
∴△BOC∽△BGD
∴
當(dāng)BD=2CD時,BD:BC=2:3
∴DG=2,即點D的縱坐標(biāo)為2
把y=2代入y=-x+3得x=1
∴D點坐標(biāo)為(1,2)
設(shè)直線PD解析式為:y=x+b
把D(1,2)代入上式得:
2=1+b,
解得:b=1
∴直線PD解析式為y=x+1
解方程組得: , ( 舍去)
∴當(dāng)BD=2CD時,t的值為2
{或∵△PDE是等腰直角三角形,∴)
即,
解得: , ( 舍去)}
(3)∵點Q是拋物線的對稱軸x=1上的動點,
∴點Q的橫坐標(biāo)為1,
∵點M在拋物線上,∴設(shè)點M的坐標(biāo)為(m, )
(I)如圖,當(dāng)BC、QM為平行四邊形的對角線時,
可得:
即:3=1+m,
∴m=2
∴點M坐標(biāo)為(2,3)
(II)如圖,當(dāng)BQ、MC為平行四邊形的對角線時,
可得:
即:3+1=m,
∴m=4
∴點M坐標(biāo)為(4,-5)
(III)如圖,當(dāng)BM、QC為平行四邊形的對角線時,
可得:
即:3+m=1,
∴m=-2
∴點M坐標(biāo)為(-2,-5)
綜合以上所述,滿足平行四邊形的點M的坐標(biāo)為(2,3)或(4,-5)或(-2,-5)
點睛: 本題難度較大,考查的是二次函數(shù)圖象與解析式的靈活運用,一般這樣題目都是作為壓軸題出現(xiàn),考生平時應(yīng)多積累二次函數(shù)的綜合知識.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果只用一種正多邊形做平面密鋪,而且在每一個正多邊形的每一個頂點周圍都有6個正多邊形,則該正多邊形的每個內(nèi)角度數(shù)為______ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,將二次函數(shù)y=x2-m(其中m>0)的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折,圖象的其余部分保持不變,形成新的圖象記為y1,另有一次函數(shù)y=x+b的圖象記為y2,則以下說法:
①當(dāng)m=1,且y1與y2恰好有三個交點時b有唯一值為1;
②當(dāng)b=2,且y1與y2恰有兩個交點時,m>4或0<m<;
③當(dāng)m=-b時,y1與y2一定有交點;
④當(dāng)m=b時,y1與y2至少有2個交點,且其中一個為(0,m).
其中正確說法的序號為 ______ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB為⊙O的直徑,C是⊙O上一點,過點C的直線交AB的延長線于點D,AE⊥DC,垂足為E,F(xiàn)是AE與⊙O的交點,AC平分∠BAE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AE=6,∠D=30°,求圖中陰影部分的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,AC=8,BC=6,點D為AB的中點,動點P從點A出發(fā),沿AC方向以每秒1個單位的速度向終點C運動,同時動點Q從點C出發(fā),以每秒2個單位的速度先沿CB方向運動到點B,再沿BA方向向終點A運動,以DP,DQ為鄰邊構(gòu)造PEQD,設(shè)點P運動的時間為t秒.
(1)當(dāng)t=2時,求PD的長;
(2)如圖2,當(dāng)點Q運動至點B時,連結(jié)DE,求證:DE∥AP.
(3)如圖3,連結(jié)CD.
①當(dāng)點E恰好落在△ACD的邊上時,求所有滿足要求的t值;
②記運動過程中PEQD的面積為S,PEQD與△ACD的重疊部分面積為S1,當(dāng)<時,請直接寫出t的取值范圍是 ______ .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,O為直線AB上一點,OD平分∠AOC,∠DOE=90°.
(1)若∠AOC=50°,求出∠BOD的度數(shù);
(2)試判斷OE是否平分∠BOC,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線AB及直線AB外一點P,按下列要求完成畫圖和解答:(1)連接PA,PB,用量角器畫出∠APB的平分線PC,交AB于點C;
(2)過點P作PD⊥AB于點D;
(3)用刻度尺取AB中點E,連接PE;
(4)根據(jù)圖形回答:點P到直線AB的距離是線段 的長度.
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