【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB于H,點G是⊙O上一點,AG交CD于點K,延長KD至點E,使KE=GE,分別延長EG、AB相交于點F.
(1)求證:EF是⊙O的切線;
(2)若AC∥EF,試探究KG、KD、GE之間的關(guān)系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,若sinE=,AK=2,求FG的長.
【答案】(1)見解析;(2)見解析;(3).
【解析】
(1)連接OG,首先證明∠EGK=∠EKG,再證明∠HAK+∠KGE=90°,進而得到∠OGA+∠KGE=90°即GO⊥EF,進而證明EF是⊙O的切線;
(2)連接GD,由平行線的性質(zhì)得到相等的角,進而根據(jù)相似三角形的判定得到△GKD∽△EKG,然后根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例可得證;
(3)連接OG,OC,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠E=∠ACH,然后根據(jù)已知的sinE=設(shè)出AH=3t,則AC=5t,CH=4t,然后根據(jù)勾股定理求出CH、AH的長,設(shè)⊙O半徑為r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3,由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,求出r的值,再由OG的長和tan∠OFG=tan∠CAH,利用三角函數(shù)在Rt△OGF中計算出FG的長.
證明:(1)如圖1,連接OG.
∵KE=EG,
∴∠EKG=∠EGK,
∵∠AKH=∠EKG,
∴∠EGK=∠AKH,
∴OA=OG,
∴∠OGA=∠OAK,
∵AB⊥CD,
∴∠AHK=90°,
∴∠AKH+∠OAG=90°,
∴∠OGA+∠EGK=90°,
∴∠OGE=90°,
∴EF是⊙O的切線;
(2)KG2=KDGE,理由是:
連接GD,如圖2,
∵AC∥EF,
∴∠C=∠E,
∵∠C=∠AGD,
∴∠E=∠AGD,
∵∠GKD=∠GKD,
∴△GKD∽△EKG,
∴,
∴KG2=KDEK,
由(1)得:EK=GE,
∴KG2=KDGE;
(3)連接OG,OC,如圖3所示,
∵AC∥EF,
∴∠E=∠ACH,
∵sinE=sin∠ACH=,
設(shè)AH=3t,則AC=5t,CH=4t,
∵KE=GE,AC∥EF,
∴CK=AC=5t,
∴HK=CK﹣CH=t.
在Rt△AHK中,根據(jù)勾股定理得AH2+HK2=AK2,
即(3t)2+t2=(2)2,解得t=±.
∴CH=4,AH=3,
設(shè)⊙O半徑為r,在Rt△OCH中,OC=r,OH=r﹣3,
由勾股定理得:OH2+CH2=OC2,
即(r﹣3)2+(4)2=r2,解得r=,
∵EF為切線,
∴△OGF為直角三角形,
在Rt△OGF中,OG=,tan∠OFG=tan∠CAH===,
∴FG==.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】“校園安全”受到全社會的廣泛關(guān)注,東營市某中學對部分學生就校園安全知識的了解程度,采用隨機抽樣調(diào)查的方式,并根據(jù)收集到的信息進行統(tǒng)計,繪制了下面兩幅尚不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題:
(1)接受問卷調(diào)查的學生共有_______人,扇形統(tǒng)計圖中“基本了解”部分所對應(yīng)扇形的圓心角為_______°;
(2)請補全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該中學共有學生900人,請根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果,估計該中學學生中對校園安全知識達到“了解”和“基本了解”程度的總?cè)藬?shù);
(4)若從對校園安全知識達到“了解”程度的3個女生和2個男生中隨機抽取2人參加校園安全知識競賽,請用樹狀圖或列表法求出恰好抽到1個男生和1個女生的概率.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在半徑為6cm的⊙O中,點A是劣弧BC的中點,點D是優(yōu)弧BC上一點,且∠D=30°,下列四個結(jié)論:①OA⊥BC;②BC=6cm;③sin∠AOB=;④四邊形ABOC是菱形.其中正確結(jié)論的序號是( )
A. ①③ B. ①②③④ C. ②③④ D. ①③④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭(如圖1),完全開啟后,把手AM的仰角α=37°,此時把手端點A、出水口B和點落水點C在同一直線上,洗手盆及水龍頭的相關(guān)數(shù)據(jù)如圖2.(參考數(shù)據(jù):sin37°=,cos37°=,tan37°=)
求把手端點A到BD的距離;
求CH的長.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,點E、F是AD的三等分點,若AD=6cm,CD=3cm,則圖中陰影部分的面積是____cm2.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,已知A(﹣1,0),C(0,3)
(1)求該拋物線的表達式;
(2)求BC的解析式;
(3)點M是對稱軸右側(cè)點B左側(cè)的拋物線上一個動點,當點M運動到什么位置時,△BCM的面積最大?求△BCM面積的最大值及此時點M的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,根據(jù)要求回答下列問題:
(1)點A關(guān)于y軸對稱點A′的坐標是 ;點B關(guān)于y軸對稱點B′的坐標是
(2)作出△ABC關(guān)于y軸對稱的圖形△A′B′C′(不要求寫作法)
(3)求△ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在RtΔABC中,∠ACB=90°,AC=9,BC=12,AD是∠BAC的平分線,若點P,Q分別是AD和AC上的動點,則PC+PQ的最小值是( )
A.B.C.12D.15
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