Question

如果一條拋物線與軸有兩個交點，那么以該拋物線的頂點和這兩個交點為頂點的三角形稱為這條拋物線的“拋物線三角形”．
（1）“拋物線三角形”一定是

 

三角形；
（2）若拋物線的“拋物線三角形”是直角三角形，求b的值；
（3）若拋物線y=-x²-bx與x軸交于原點O和點B，拋物線的頂點坐標為A，△ABO是“拋物線三角形”，是否存在以原點為對稱中心的矩形？若存在，求出過三點的拋物線的表達式；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）拋物線的頂點必在拋物線與x軸兩交點連線的垂直平分線上，因此這個“拋物線三角形”一定是等腰三角形．
（2）觀察拋物線的解析式，它的開口向下且經(jīng)過原點，由于b＞0，那么其頂點在第一象限，而這個“拋物線三角形”是等腰直角三角形，必須滿足頂點坐標的橫、縱坐標相等，以此作為等量關(guān)系來列方程解出b的值．
（3）由于矩形的對角線相等且互相平分，所以若存在以原點O為對稱中心的矩形ABCD，那么必須滿足OA=OB，結(jié)合（1）的結(jié)論，這個“拋物線三角形”必須是等邊三角形，首先用b′表示出AE、OE的長，通過△OAB這個等邊三角形來列等量關(guān)系求出b′的值，進而確定A、B的坐標，即可確定C、D的坐標，利用待定系數(shù)即可求出過O、C、D的拋物線的解析式．

解答：解：（1）如圖；
根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線的頂點A必在O、B的垂直平分線上，所以O(shè)A=AB，即：“拋物線三角形”必為等腰三角形．
故答案為：等腰；
（2）
∵“拋物線三角形”是直角三角形，
∴此“物線三角形”是等腰直角三角形，拋物線的頂點坐標為（b，

b2

4

），
把y=0代入得解得x=0或b
根據(jù)題意得

b2

4

=

1

2

b
∴b=0或2（0舍去），
∴b=2                        
（3）存在．
當(dāng)b＜0時，作AH⊥OB于H點，如圖，
把y=0代入y=-x²-bx得解得x₁=0，x₂=-b′，
∴B點坐標為（-b′，0），
∴A點坐標為（

b

2

，

b2

4

）
∵矩形ABCD以原點O為對稱中心，
∴OA=OB=OC=OD，
∴△OAB為等邊三角形，
∴AH=

b2

4

解得b₁′=0，b₂2

3

∴A點坐標為（-

3

，-3），B點坐標為（-2

3

，0）
∴C點坐標為（

3

，3），D點坐標為（2

3

，0)
設(shè)過O、C、D三點的拋物線的解析式為y=ax（x-2

3

），
把C（

3

，3）代入得a=-1，
∴所求拋物線的表達式為y=-x²+2

3

，
同理，當(dāng)b＞0時，y=-x²-2

3

x．

點評：本題考查了拋物線的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，并且根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定幾何圖形的性質(zhì)和確定點的坐標；會運用等腰直角三角形、等邊三角形和矩形的性質(zhì)建立等量關(guān)系，將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題．