Question

已知a、b、c分別是△ABC中∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，若關(guān)于x的方程（b+c）x²-2ac+c-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且sinBcosA-cosBsinA=0，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式

專題：

分析：由于關(guān)于x的方程（b+c）x²-2ax+c-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，所以判別式△=（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，解可得：a²+b²-c²=0，即a²+b²=c²；又已知sinBcosA-cosBsinA=0，可得∠A=∠B．根據(jù)這兩個(gè)條件可以判斷△ABC的形狀為等腰直角三角形．

解答：解：∵關(guān)于x的方程（b+c）x²-2ax+c-b=0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴（-2a）²-4（b+c）（c-b）=0，
化簡(jiǎn)，得a²+b²-c²=0，
即a²+b²=c²．
又∵sinBcosA-cosBsinA=0，
∴sin（B-A）=0，
∵-

π

2

＜C-A＜

π

2

，
∴∠B-∠A=0，
∴∠A=∠B，
∴a=b，
∴△ABC的形狀為等腰直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．也考查了等腰直角三角形的判定以及兩角差的正弦函數(shù)公式．