Question

【題目】如圖，點E為正方形ABCD中AD邊上的一個動點，AB=16，以BE為邊畫正方形BEFG，邊EF與邊CD交于點H．

（1）當(dāng)E為邊AD的中點時，求DH的長；
（2）當(dāng)tan∠ABE= 時，連接CF，求CF的長；
（3）連接CE，求△CEF面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵四邊形ABCD和四邊形BGFE是正方形，

∴∠D=∠A=∠BEF=90°，

∴∠AEB+∠DEH=∠DEH+∠DHE=90°，

∴∠AEB=∠DHE，

∴△EDH∽△BAE，

∴ ，

∵E為邊AD的中點，

∴DE=AE=8，

∴ ，

∴DH=4；

（2）

解：過F作FG⊥DC于點G，F(xiàn)M⊥AD，交AD的延長線于M，連接CF，

∵tan∠ABE= ，AB=16，

∴AE=12，

∴DE=4，

∵∠MEF+∠AEB=∠AEB+∠ABE=90°，

∴∠MEF=∠ABE，

∴tan∠MEF= ，

∴ME=16，F(xiàn)M=12，

∴DM=12，

∴DM=MF，

∴四邊形DGFM是正方形，

∴FG=12，HG=9，

∴CG=4，

∴FC= =4

（3）

解：∵S△CEF=S△CHF+S△CHE= CHEM，

∵△EMF≌△BAE，

∴EM=AB=16，

∴S△CEF=8CH，

∵△EDH∽△BAE，

∴ ，

設(shè)AE為x，則DH= （﹣x2+16x）=﹣ （x﹣8）2+4≤4，

∴DH≤4，

∴CH≥12，CH最小值是12，

∴△CEF面積的最小值是96

【解析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠D=∠A=∠BEF=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AEB=∠DHE，根據(jù)相似三角形的想知道的 ，代入數(shù)據(jù)即可得到結(jié)論；（2）過F作FG⊥DC于點G，F(xiàn)M⊥AD，交AD的延長線于M，連接CF，根據(jù)已知條件得到AE=12，求得DE=4，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠MEF=∠ABE，等量代換得到tan∠MEF= 求得ME=16，F(xiàn)M=12，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（3）由于S△CEF=S△CHF+S△CHE= CHEM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到EM=AB=16，求得S△CEF=8CH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，設(shè)AE為x，于是得到DH= （﹣x2+16x）=﹣ （x﹣8）2+4≤4，即可得到結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形；對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形才能正確解答此題．