Question

如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥BC，以AD為直徑做⊙O．
（1）如圖①，若CD=1，AB=BC=4，
①求證：BC與⊙O相切；
②BC與⊙O的切點為E，連結(jié)AE、DE，求證：△ABE∽△ECD；
（2）如圖②，若CD=1，AB=2，BC=4，易證此時BC與⊙O交于兩點，記為E、F，此時△ABE∽△ECD與△ABF∽△FCD都成立，請問線段BC上是否存在第三點（記為G），使以A、B、G三點為頂點的三角形與△GCD相似？若存在，求BG的長度；若不存在，請說明理由；
（3）若DC=1，AB=2，BC=m，請問當線段BC上存在唯一一個點（記做P），使以A、B、P三點為頂點的三角形與△PCD相似，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）
①求證相切的常規(guī)思路就是過圓心O做BC的垂線，然后討論這個垂線段是否等于圓的半徑即可．
②相似的求證是常規(guī)題．只要證明兩對角相等即可．圖中∠B，∠C都為90°，又∠AED=90°，則∠AEB+∠DEC=90°，即互為余角．利用同角的余角相等可證另外一對角相等，相似得證．
（2）△ABE∽△ECD與△ABF∽△FCD，都是利用②中的結(jié)論得證的．那么是不是存在第三個點也使三角形有如此的相似呢？觀察示圖可發(fā)現(xiàn)，這兩個點E、F都在圓上，即所成的圓周角都為90°，類似的點已沒有了．可是如果我們換個思路，不證明△ABG∽△GCD，而證明△GBA∽△GCD，所利用的思路就是找到一點G，使得

BG

CG

=

AB

DC

即可．這個顯然是存在的．
（3）由上問結(jié)論可知，使以A、B、P三點為頂點的三角形與△PCD相似的點P存在兩種情形，一、BC與⊙O的交點，二、找到一點P，使得

BP

CP

=

AB

DC

．所以要想只存在唯一一點，那么就使⊙O與BC相離．另注意還要注意相切時，切點是否與成比例的點重合．因為中位線的性質(zhì)，所以切點必為BC中點，此時比例記為1：1，而AB顯然不能等于CD，故相切時兩個點不重合，故舍去．

解答：（1）
證明：
①過點O作OE'⊥BC于E'，過點D作DH⊥AB于H

∵AB∥CD，AB⊥BC
∴∠B=90°，∠C=90°
∵∠OE′C=90°
∴OE′∥CD
∴AB∥OE′∥CD
∵AO=DO
∴OE′為梯形ABCD的中位線
∴OE′=

1

2

(AB+CD)=

5

2

即點O到BC的距離為

5

2

∵∠DHC=90°
∴四邊形HBCD為矩形
∴BH=CD=1，HD=BC=4
在Rt△ADH中
∵AH=AB-BH=3，HD=4
∴AD=5
∴⊙O的半徑為

5

2

，即與點O到BC的距離相等
∴BC與⊙O相切，切點為E′．
②∵AD為⊙O直徑
∴∠AED=90°
∵∠AEB+∠AED+∠DEC=180°
∴∠AEB+∠DEC=90°
在Rt△ABE中
∵∠AEB+∠BAE=90°
∴∠BAE=∠CED
在△ABE和△ECD中

∠BAE=∠CED ∠B=∠C

∴△ABE∽△ECD

（2）解：存在，使得△ABG∽△DCG．
∵△ABG∽△DCG
∴

AB

BG

=

DC

CG

∵AB=2，DC=1
∴BG=2CG
∵BG+CG=BC=4
∴BG=

2

3

BC=

8

3

（3）解：

過點D作DI⊥AB于I，過點O作OJ⊥BC于J
則四邊形IBCD為矩形，即IB=DC=1，ID=BC=m
在Rt△AID中
∵AI=AB-BI=2-1=1
∴AD=

DI2+AI2

=

1+m2

∴⊙O的半徑為

1+m2

2

在梯形ABCD中
∵OJ為中位線
∴OJ=

1

2

(AB+CD)=

1

2

(1+2)=

3

2

當OJ＞⊙O半徑時，存在唯一P點有△ABP∽△DCP
此時

3

2

＞

1+m2

2

，解得m＜2

2

故m的取值范圍：0＜m＜2

2

點評：此題的難度極高，主要體現(xiàn)在獨立清晰理解題意的能力上．初看此題很容易被各種的動點、不確定弄暈頭腦，所以冷靜分析題目是解決問題的首要技能．而本題恰恰因為難理解，也給這個題一個很好的突破口，即深度分析前問知識，以前問結(jié)論為出發(fā)點思考后問．這是多數(shù)綜合問題得以突破的關(guān)鍵，學生須加強此能力的練習．
本題中，第一問討論了相切的問題，利用的是討論圓半徑與圓心到切線距離的關(guān)系比較．第二問就談?wù)撓嗨迫�角形的問題，而且給出在直線與圓相交時，每個交點都能想成對相似三角形．并且后面就單獨討論是否存在另外的相似？學生很容易發(fā)現(xiàn)如果變化思維，將三角形的三個頂點交換順序又存在一對相似三角形，且此點永遠存在．當啟發(fā)完上述知識后，問題進入第三問，那什么時候只存在唯一點使得只有一對三角形相似呢．由上問結(jié)論可發(fā)現(xiàn)，如果讓直線與圓相離，那么就不存在圓上點使得三角形相似的情形，進而與題意符合，此時問題又回到第一問，如何根據(jù)圓半徑與圓心到切線距離的關(guān)系比較確定圓與直線相離．所以體會前問意圖對本題的順利解決起到至關(guān)重要的作用，而如果把每一問割裂來看，想理解此題解決此題，非常困難．