【題目】操作體驗(yàn):如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上,將矩形ABCD沿直線EF折疊,使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處.點(diǎn)P為直線EF上一動(dòng)點(diǎn)(不與E、F重合),過點(diǎn)P分別作直線BE、BF的垂線,垂足分別為點(diǎn)M和N,以PM、PN為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PMQN.
(1)如圖1,求證:BE=BF;
(2)特例感知:如圖2,若DE=5,CF=3,當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動(dòng)時(shí),求平行四邊形PMQN的周長;
(3)類比探究:如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段EF的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí),若DE=a,CF=b.請直接用含a、b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關(guān)系.(不要求寫證明過程)
【答案】(1)證明見解析;(2)8;(3)QN﹣QM=.
【解析】
(1)證明∠BEF=∠BFE即可解決問題(也可以利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可).
(2)如圖2中,連接BP,作EH⊥BC于H,則四邊形ABHE是矩形.利用等面積法證明PM+PN=EH,利用勾股定理求出AB即可解決問題.
(3)如圖3中,連接BP,作EH⊥BC于H.由S△EBPS△BFP=S△EBF,可得BEPMBFPN=BFEH,由BE=BF,推出PMPN=EH=,即可得到QNQM=PMPN=.
(1)如圖1中,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠DEF=∠EFB,
由翻折可知:∠DEF=∠BEF,
∴∠BEF=∠EFB,
∴BE=BF;
(2)如圖2中,連接BP,作EH⊥BC于H,則四邊形ABHE是矩形,EH=AB,
∵DE=EB=BF=5,CF=3,
∴AD=BC=8,AE=3,
在Rt△ABE中,∵∠A=90°,BE=5,AE=3,
∴AB=,
∵S△BEF=S△PBE+S△PBF,PM⊥BE,PN⊥BF,
∴BFEH=BEPM+BFPN.
∵BE=BF,
∴PM+PN=EH=4.
∵四邊形PMQN是平行四邊形,
∴四邊形PMQN的周長=2(PM+PN)=8;
(3)如圖3中,連接BP,作EH⊥BC于H.
∵ED=EB=BF=a,CF=b,
∴AD=BC=a+b,
∴AE=ADDE=b,
∴EH=AB=,
∵S△EBPS△BFP=S△EBF,
∴BEPMBFPN=BFEH,
∵BE=BF,
∴PMPN=EH=,
∵四邊形PMQN是平行四邊形,
∴QNQM=PMPN=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,在邊長為4的菱形ABCD中,AC為其對角線,∠ABC=60°點(diǎn)M、N分別是邊BC、邊CD上的動(dòng)點(diǎn),且MB=NC.連接AM、AN、MN.MN交AC于點(diǎn)P.
(1)△AMN是什么特殊的三角形?說明理由.并求其面積最小值;
(2)求點(diǎn)P到直線CD距離的最大值;
(3)如圖2,已知MB=NC=1,點(diǎn)E、F分別是邊AM、邊AN上的動(dòng)點(diǎn),連接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值及此時(shí)AE、AF的長;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】列方程,解應(yīng)用題
甲乙兩人相約周末到影院看電影,他們的家分別距離影院1200米和2000米,兩人分別從家中同時(shí)出發(fā),已知甲和乙的速度比是,結(jié)果甲比乙提前4分鐘到達(dá)影院.
(1)求甲、乙兩人的速度?
(2)在看電影時(shí),甲突然接到家長電話讓其15分鐘內(nèi)趕回家,時(shí)間緊迫改變速度,比來時(shí)每分鐘多走25米,甲是否能按要求時(shí)間到家?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校八年級學(xué)生全部參加“初二生物地理會考”,從中抽取了部分學(xué)生的生物考試成績,將他們的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)后分為A,B,C,D四等,并將統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制成如下的統(tǒng)計(jì)圖,請結(jié)合圖中所給的信息解答下列問題
(1)抽取了______名學(xué)生成績;(2)請把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中等級D所在的扇形的圓心角度數(shù)是______;
(4)若A,B,C代表合格,該校初二年級有300名學(xué)生,求全年級生物合格的學(xué)生共約多少人
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直角坐標(biāo)系中,三角形ABC的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格點(diǎn)上,其中A(2,), B(4,3), C(1,2).
(1)將三角形ABC先向左平移2個(gè)單位長度,再向上平移1個(gè)單位長度,得到三角形,則三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)。( ),( ),( ).
(2)求三角形ABC的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】將四張邊長各不相同的正方形紙片按如圖方式放入矩形內(nèi)(相鄰紙片之間互不重疊也無縫隙),未被四張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示.設(shè)右上角與左下角陰影部分的周長的差為.若知道的值,則不需測量就能知道周長的正方形的標(biāo)號為( )
A.①B.②C.③D.④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,如圖,直線MN交⊙O于A,B兩點(diǎn),AC是直徑,AD平分∠CAM交⊙O于D,過D作DE⊥MN于E.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=2cm,AE=1cm,求⊙O的半徑.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小亮、小穎的手上都有兩根長度分別為5、8的木棒,小亮與小穎都想通過轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤游戲來獲取第三根木棒,如圖,一個(gè)均勻的轉(zhuǎn)盤被平均分成6等份,分別標(biāo)有木棒的長度2,3,5,8,10,12這6個(gè)數(shù)字.小亮與小穎各轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤一次,停止后,指針指向的數(shù)字即為轉(zhuǎn)出的第三根木棒的長度.若三根木棒能組成三角形則小亮獲勝,三根木棒能組成等腰三角形則小穎獲勝.
(1)小亮獲勝的概率是 ;
(2)小穎獲勝的概率是 ;
(3)請你用這個(gè)轉(zhuǎn)盤設(shè)計(jì)一個(gè)游戲,使得對小亮與小穎均是公平的;
(4)小穎發(fā)現(xiàn),她連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤10次,都沒轉(zhuǎn)到5和8,能不能就說小穎獲勝的可能性為0?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:(1)寫出△ABC中點(diǎn)A、點(diǎn)C坐標(biāo);(2)畫出△ABC繞點(diǎn)A管好逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△AB'C';(3)在(2)的條件下,求點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到C'所經(jīng)過的路線長。(結(jié)果保留)
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