【題目】如圖1,在邊長為4的菱形ABCD中,AC為其對角線,∠ABC=60°點(diǎn)M、N分別是邊BC、邊CD上的動點(diǎn),且MB=NC.連接AM、AN、MN.MN交AC于點(diǎn)P.
(1)△AMN是什么特殊的三角形?說明理由.并求其面積最小值;
(2)求點(diǎn)P到直線CD距離的最大值;
(3)如圖2,已知MB=NC=1,點(diǎn)E、F分別是邊AM、邊AN上的動點(diǎn),連接EF、PF,EF+PF是否存在最小值?若存在,求出最小值及此時AE、AF的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)△AMN為等邊三角形,;(2);(3)存在,
【解析】
(1)△AMN是等邊三角形,AM⊥BC時面積最。灰C明△AMB≌△ANC,推出AM=AN,∠BAM=∠CAN即可解決問題.
(2)如圖2中,當(dāng)AM⊥BC時,點(diǎn)P到CD距離最大.作PE⊥CD于E.
(3)如圖3中,作點(diǎn)P關(guān)于AN的對稱點(diǎn)為K,過點(diǎn)K做AM的垂線,交AN為F,交AM為E,此時,EF+PF最短,連接AK、作AG⊥MN于G,MH⊥AB于H.首先求出AM、AG的長,再證明△AGP≌△KEA,推出KE=AG即可.
解:(1)△AMN為等邊三角形;
如圖1中,
∵ABCD是菱形,∠ABC=60°,
∴△ABC為等邊三角形
在△AMB和△ANC中,
AB=AC
∠B=∠ACN=60°
BM=NC
∴△AMB≌△ANC
∴AM=AN,∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°,
∴∠MAN=60°,
∴△AMN為等邊三角形,
當(dāng)AM⊥BC時,△AMN的邊長最小,面積最小,
此時AM=MN=AN=
(2)如圖2中,
當(dāng)AM⊥BC時,點(diǎn)P到CD距離最大.作PE⊥CD于E.
理由:由(1)可知△AMN是等邊三角形,
當(dāng)AM⊥BC時,△AMN的邊長最小,此時PA長最小,PC的長最大,點(diǎn)P到直線CD距離的最大,
∵BM=MC=2,∠CMP=30°,∠MPC=90°,
∴PC=MC=1,
在Rt△PCE中,∵∠CPE=30°,PC=1,
∴EC=PC=,
∴PE=.
∴點(diǎn)P到直線CD距離的最大值為;
(3)如圖3中,作點(diǎn)P關(guān)于AN的對稱點(diǎn)為K,過點(diǎn)K做AM的垂線,交AN為F,交AM為E,此時,EF+PF最短,由于對稱,PF=KF,EF為垂線段(垂線段最短).
連接AK、作AG⊥MN于G,MH⊥AB于H.
在Rt△BMH中,∵BM=1,∠BMH=30°,
∴BH=,HM=,
∴,
∵△AMN是等邊三角形,
∴AG=.
∵∠APG=∠PCM+∠PMC=60°+∠PMC,
∵∠PMC+∠PCM+∠CPM=180°,∠NAP+∠ANP+∠APN=180°,∠ANP=∠PCM=60°,∠APN=∠CPM,
∴∠CMP=∠NAP=∠NAK,
∵∠EAK=∠EAN+∠NAK=60°+∠NAK,
∴∠APG=∠EAK,
∵∠AGP=∠AEK=90°,AP=AK,
∴△AGP≌△KEA,
∴KE=AG=.
∴EF+PF的最小值為,
∵∠PCN=∠PCM,
∴,
∴PN=,
∴AE=PG=GN-PN=,
∵在Rt△AFE中,∠AFE=30°,∴AF=2AE,
∴AF=.
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【題目】已知點(diǎn)A(﹣1,﹣2),點(diǎn)B(1,4)
(1)試建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系;
(2)描出線段AB的中點(diǎn)C,并寫出其坐標(biāo);
(3)將線段AB沿水平方向向右平移3個單位長度得到線段A1B1,寫出線段A1B1兩個端點(diǎn)及線段中點(diǎn)C1的坐標(biāo).
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【題目】某書定價8元,如果一次購買10本以上,超過10本的部分打八折,在這個問題中,當(dāng)購書的數(shù)量變化時,付款金額也隨之發(fā)生了變化.
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(2)當(dāng)購書20本時,付款金額為多少元?
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【題目】已知,兩地相距,甲騎自行車,乙騎摩托車沿一條筆直的公路由地勻速行駛到地.設(shè)行駛時間為,甲、乙離開地的路程分別記為,,它們與的關(guān)系如圖所示.
(1)分別求出線段,所在直線的函數(shù)表達(dá)式.
(2)試求點(diǎn)的坐標(biāo),并說明其實際意義.
(3)乙在行駛過程中,求兩人距離超過時的取值范圍.
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【題目】平價大藥房準(zhǔn)備購進(jìn)、一次性醫(yī)用兩種口罩.兩種口罩的進(jìn)價和售價如表.已知:用元購進(jìn)一次性醫(yī)用口罩的數(shù)量是用元購進(jìn)口罩的數(shù)量的倍.
口罩 | 一次性醫(yī)用口罩 | |
進(jìn)價(元個) | ||
售價(元個) |
(1)求的值;
(2)要使購進(jìn)的、一次性醫(yī)用兩種口罩共個的總利潤不少于元,且不超過元,問該藥店共有多少種進(jìn)貨方案?
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【題目】如圖,Rt△ABC中,AB=AC=8,BO=AB,點(diǎn)M為BC邊上一動點(diǎn),將線段OM繞點(diǎn)O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至ON,連接AN、CN,則△CAN周長的最小值為________.
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【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過點(diǎn)C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,△ADC和△CEB全等嗎?請說明理由.
(2)聰明的小亮發(fā)現(xiàn),當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時,可得DE=AD+BE,請你說明其中的理由。
(3)小亮將直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置,線段DE、AD、BE之間存在著什么的數(shù)量關(guān)系,請寫出這一關(guān)系,并說明理由.
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【題目】如圖,將△ABC沿射線BC方向平移3 cm得到△DEF.若△ABC的周長為14 cm,則四邊形ABFD的周長為( )
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【題目】操作體驗:如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上,將矩形ABCD沿直線EF折疊,使點(diǎn)D恰好與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C落在點(diǎn)C'處.點(diǎn)P為直線EF上一動點(diǎn)(不與E、F重合),過點(diǎn)P分別作直線BE、BF的垂線,垂足分別為點(diǎn)M和N,以PM、PN為鄰邊構(gòu)造平行四邊形PMQN.
(1)如圖1,求證:BE=BF;
(2)特例感知:如圖2,若DE=5,CF=3,當(dāng)點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動時,求平行四邊形PMQN的周長;
(3)類比探究:如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在線段EF的延長線上運(yùn)動時,若DE=a,CF=b.請直接用含a、b的式子表示QM與QN之間的數(shù)量關(guān)系.(不要求寫證明過程)
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