【題目】如圖是某地下商業(yè)街的入口,數學課外興趣小組同學打算運用所學知識測量側面支架最高點E到地面距離EF.經測量,支架立柱BC與地面垂直,即∠BCA=90°,且BC=1.5cm,點F、A、C在同一條水平線上,斜桿AB與水平線AC夾角∠BAC=30°,支撐桿DE⊥AB于點D,該支架邊BE與AB夾角∠EBD=60°,又測得AD=1m.請你求出該支架邊BE及頂端E到地面距離EF長度.
【答案】EB=4m EF= 3.5(m)
【解析】
過B作BH⊥EF于點H,在Rt△ABC中,根據∠BAC=30°,BC=1.5,可求得AB的長度,又AD=1m,可求得BD的長度,在Rt△EBD中解直角三角形求得EB的長度,然后根據BH⊥EF,求得∠EBH=30°,繼而可求得EH的長度,易得EF=EH+HF的值.
解:過B作BH⊥EF于點H,
∴四邊形BCFH為矩形,BC=HF=1.5m,∠HBA=∠AC=30°.
在Rt△ABC中,∵∠BAC=30°,BC=1.5m,∴AB=3m.
∵AD=1m,∴BD=2m.
在Rt△EDB中,∵∠EBD=60°,∴∠BED=90°-60°=30°.
∴EB=2BD=2×2=4m.
又∵∠HBA=∠BAC=30°,∴∠EBH=∠EBD--∠HBD=30°,
∴EH=EB=2m.
∴EF=EH+HF=2+1.5=3.5(m).
答:該支架的邊BE為4m,頂端E到地面的距離EF的長度為3.5m.
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【題目】在公園有兩座垂直于水平地面且高度不一的圖柱,兩座圓柱后面有一堵與地面互相垂直的墻,且圓柱與墻的距離皆為.敏敏觀察到高度矮圓柱的影子落在地面上,其影長為;而高圓柱的部分影子落在墻上,如圖所示.已知落在地面上的影子皆與墻面互相重直,并視太陽光為平行光,在不計圓柱厚度與影子寬度的情況下,請回答下列問題:
(1)若敏敏的身高為,且此刻她的影子完全落在地面上,求影子的長度.
(2)若同一時間量得高圓柱落在墻上的影長為,請你畫出示意圖并求出高圓柱的高度.
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【題目】如圖.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,以A為圓心,AD長為半徑的弧DF交AC的延長線于F,若圖中兩個陰影部分的面積相等,則=_____.
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【題目】規(guī)定:有一角重合,且角的兩邊疊合在一起的兩個相似四邊形叫做“嵌套四邊形”,如圖,四邊形ABCD和AMPN就是嵌套四邊形.
(1)問題聯想
如圖①,嵌套四邊形ABCD,AMPN都是正方形,現把正方形AMPN以A為中心順時針旋轉150°得到正方形AM'P'N',連接BM',DN'交于點O,則BM'與DN'的數量關系為_____,位置關系為_____;
(2)類比探究
如圖②,將(1)中的正方形換成菱形,∠BAD=∠MAN=60,其他條件不變,則(1)中的結論還成立嗎? 若成立,請說明理由;若不成立,請給出正確的結論,并說明理由;
(3)拓展延伸
如圖3,將(1)中的嵌套四邊形ABCD和AMPN換成是長和寬之比為2:1的矩形,旋轉角換成α(90°<α<180°),其他條件不變,請直接寫出BM'與DN'的數量關系和位置關系.
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【題目】如圖,△ABC 中,AB=AC, ∠BAC <60°,將線段 AB 繞點 A逆時針旋轉 60°得到點 D, 點 E 與點 D 關于直線 BC 對稱,連接 CD,CE,DE.
(1)依題意補全圖形;
(2)判斷△CDE 的形狀,并證明;
(3)請問在直線CE上是否存在點 P,使得 PA - PB =CD 成立?若存在,請用文字描述出點 P 的準確位置,并畫圖證明;若不存在,請說明理由.
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【題目】在一次數學興趣小組活動中,陽光和樂觀兩位同學設計了如圖所示的兩個轉盤做游戲(每個轉盤被分成面積相等的幾個扇形,并在每個扇形區(qū)域內標上數字).游戲規(guī)則如下:兩人分別同時轉動甲、乙轉盤,轉盤停止后,若指針所指區(qū)域內兩數和小于12,則陽光獲勝,反之則樂觀獲勝(若指針停在等分線上,重轉一次,直到指針指向某一份內為止).
(1)請用列表或畫樹狀圖的方法表示出上述游戲中兩數和的所有可能的結果;
(2)游戲對雙方公平嗎?請說明理由.
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【題目】如圖,⊙O與△ABC中AB、AC的延長線及BC邊相切,且∠ACB=90°,∠A,∠B,∠C所對的邊長依次為3,4,5,則⊙O的半徑是_____.
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【題目】對于二次函數y=mx2+(5m+3)x+4m(m為常數且m≠0)有以下三種說法:
①不論m為何值,函數圖象一定過定點(﹣1,﹣3);
②當m=﹣1時,函數圖象與坐標軸有3個交點;
③當m<0,x≥﹣時,函數y隨x的增大而減小;判斷真假,并說明理由.
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【題目】如圖,△BOD都是等腰直角三角形,過點B作AB⊥OB交反比例函數y(x>0)于點A,過點A作AC⊥BD于點C,若S△BOD﹣S△ABC=3,則k的值為____.
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