【題目】定義:在平面直角坐標(biāo)系中,圖形G上點(diǎn)P(x,y)的縱坐標(biāo)y與其橫坐標(biāo)x的差y-x稱為P點(diǎn)的“坐標(biāo)差”,而圖形G上所有點(diǎn)的“坐標(biāo)差”中的最大值稱為圖形G的“特征值”
(1)①點(diǎn)A(1,3) 的“坐標(biāo)差”為 。
②拋物線y=-x2+3x+3的“特征值”為 。
(2)某二次函數(shù)y=-x2+bx+c(c≠0) 的“特征值”為1,點(diǎn)B(m,0)與點(diǎn)C分別是此二次函數(shù)的圖象與x軸和y軸的交點(diǎn),且點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等。
①直接寫出m= (用含c的式子表示)
②求此二次函數(shù)的表達(dá)式。
(3)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以M(2,3)為圓心,2為半徑的圓與直線y=x相交于點(diǎn)D、E請直接寫出⊙M的“特征值”為 。
【答案】(1)① 2; ② 4; (2)① m= -c ; ②
;(3)
【解析】試題分析:
(1)①由題中所給“坐標(biāo)差”的定義即可得到點(diǎn)A(1,3)的坐標(biāo)差;
②由坐標(biāo)差的定義可得:二次函數(shù)y=-x2+3x+3圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)差為: ,將此關(guān)系式配方即可求得y-x的最大值,從而得到拋物線y=-x2+3x+3的“特征值”;
(2)①由題意可得:0-m=c-0,由此可得:m=-c;
②由m=-c可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-c,0),把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入中可得,由可得,即;再由的特征值為1可得: ,兩者即可解得b何c的值,由此即可得到二次函數(shù)的解析式;
(3)如圖,過點(diǎn)M作直線PF⊥DE,交⊙M于點(diǎn)P和F,由已知條件易得直線PF的解析式為y=-x+5;由直線y=x上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)差為0,且坐標(biāo)平面內(nèi)在直線y=x的右側(cè)距離直線y=x越遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)差越大可知在⊙M上距離直線y=x最遠(yuǎn)的點(diǎn)是點(diǎn)P,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)由點(diǎn)P到M的距離為2,可得到關(guān)于x、y的方程,和y=-x+5組合即可解得點(diǎn)P的坐標(biāo),這樣就可得到⊙M的特征值了.
試題解析:
(1)① ∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,3),
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)差為:3-1= 2;
② ∵二次函數(shù)的解析式為:y=-x2+3x+3,
∴該二次函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)差都滿足: ,
∵,即該二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)差的最大值為4,
∴該二次函數(shù)圖象的特征值為:4;
(2)① 由已知易得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,c),而B的坐標(biāo)為(m,0),
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)差為:c-0,點(diǎn)B的坐標(biāo)差為:0-m,
又∵點(diǎn)B與點(diǎn)C的“坐標(biāo)差”相等,
∴c-0=0-m,
∴m=-c;
② ∵m=-c,
∴B(-c,0),
將其代入 中,
得, ,
∵c≠0,
∴,
∴ ① ,
∴ 的“坐標(biāo)差”為:
,
∵“特征值”為1,
∴ ②,
將①代入②中,得:
∴ ,
∴拋物線的表達(dá)式為 ;
(3)如圖,過點(diǎn)M作直線PF⊥DE,交⊙M于點(diǎn)P和F,
∵直線DE的解析式為:y=x,點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,3),
∴直線PF的解析式為y=-x+5,
∵直線y=x上所有點(diǎn)的坐標(biāo)差都等于0,而在直線y=x的右側(cè)距離直線y=x越遠(yuǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo)差就越大,而⊙M上點(diǎn)P距離直線y=x最遠(yuǎn),
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)差就是⊙M的“特征值”,
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),
∵點(diǎn)P到點(diǎn)M(2,3)的距離為2,
∴有,
又∵點(diǎn)P(x,y)在直線y=-x+5上,
∴,解得: ,
∴對應(yīng)的: ,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)差為: ,
∴⊙M的“特征值”為: .
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(2)在上述條件不變、銷售正常情況下,每件商品降價(jià)多少元時(shí),日盈利可達(dá)到 750 元?
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的角平分線。
(1)以AB上一點(diǎn)O為圓心,AD為弦作⊙O;
(2)求證:BC為⊙O的切線;
(3)如果AC=3,tanB=,求⊙O的半徑。
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【題目】一輛汽車在公路上行駛,其所走的路程和所用的時(shí)間可用 下表表示:
時(shí)間/t(min) | 1 | 2.5 | 5 | 10 | 20 | 50 | … |
路程/s (km) | 2 | 5 | 10 | 20 | 40 | 100 | … |
(1)在這個(gè)變化過程中,自變量、因變量各是什么?
(2)當(dāng)汽車行駛路程s為20km時(shí),所花的時(shí)間t是多少分鐘?
(3)從表中說出隨著t逐漸變大,s的變化趨勢是什么?
(4)如果汽車行駛的時(shí)間為t (min),行駛的路程為s ,那么路程s 與時(shí)間t之間的關(guān)系式為 .
(5)按照這一行駛規(guī)律,當(dāng)所花的時(shí)向t是300min時(shí),汽車行駛的路程 s是多少千米?
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【題目】在△ABC中,AB=AC,點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)過點(diǎn)P分別作PE∥AC交AB于點(diǎn)E,PF∥AB交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F.
(1)觀察猜想
如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上時(shí),此時(shí)點(diǎn)P、D重合,試猜想PD,PE,PF與AB的數(shù)量關(guān)系: .
(2)類比探究
如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)時(shí),過點(diǎn)P作MN∥BC交AB于點(diǎn)M,交AC于點(diǎn)N,試寫出PD,PE,PF與AB的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.
(3)解決問題
如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外時(shí),若AB=6,PD=1,請直接寫出平行四邊形PEAF的周長 .
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(2)(13)(13)
(3)20+(14)(18)13
(4)(+3)(21)+(19)+(+12)+(+5)
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(3)當(dāng)a=2,b=﹣5時(shí),AB=______;
(4)當(dāng)a=﹣2,b=﹣5時(shí),AB=______;
(5)當(dāng)a=2,b=m時(shí),AB=______;
(6)數(shù)軸上分別表示a和﹣2的兩點(diǎn)A和B之間的距離為3,a=____;
(7)點(diǎn)A、B分別表示數(shù)a、b,點(diǎn)A、B之間的距離為______;
(8)|a﹣3|+|a﹣2|的最小值是______.
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