Question

已知，在矩形ABCD中，連接對角線AC，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△EFG，并將它沿直線AB向左平移，直線EG與BC交于點H，連接AH，CG．
（1）如圖①，當(dāng)AB=BC，點F平移到線段BA上時，線段AH，CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你的猜想；
（2）如圖②，當(dāng)AB=BC，點F平移到線段BA的延長線上時，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；
（3）如圖③，當(dāng)AB=nBC（n≠1）時，對矩形ABCD進行如已知同樣的變換操作，線段AH，CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？直接寫出你的猜想．

Answer 1

考點：四邊形綜合題,三角形的外角性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì),平移的性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題,幾何綜合題

分析：（1）延長AH與CG交于點T，如圖①，易證BH=BG，從而可證到△ABH≌△CBG，則有AH=CG，∠HAB=∠GCB，從而可證到∠HAB+∠AGC=90°，進而可證到AH⊥CG．
（2）延長CG與AH交于點Q，如圖②，仿照（1）中的證明方法就可解決問題．
（3）延長AH與CG交于點N，如圖③，易證BH∥EF，可得△GBH∽△GFE，則有

BH

BG

=

FE

FG

，也就有

BH

BG

=

AB

BC

，從而可證到△ABH∽△CBG，則有

AH

CG

=

AB

CB

=n，∠HAB=∠GCB，進而可證到AH=nCG，AH⊥CG．

解答：解：（1）AH=CG，AH⊥CG．
證明：延長AH與CG交于點T，如圖①，
由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，
∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠CBG=90°，∠EGF=45°．
∴∠BHG=90°-45°=45°=∠EGF．
∴BH=BG．
在△ABH和△CBG中，

AB=BC ∠ABH=∠CBG BH=BG

，
∴△ABH≌△CBG（SAS）．
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．
∴∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．
∴∠ATC=90°．
∴AH⊥CG．

（2）（1）中的結(jié)論仍然成立．
證明：延長CG與AH交于點Q，如圖②，
由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四邊形ABCD是矩形，AB=BC，
∴EF=GF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠ABH=90°，∠EGF=45°．
∴∠BGH=∠EGF=45°．
∴∠BHG=90°-45°=45°=∠BGH．
∴BH=BG．
在△ABH和△CBG中，

AB=BC ∠ABH=∠CBG BH=BG

，
∴△ABH≌△CBG（SAS）．
∴AH=CG，∠HAB=∠GCB．
∴∠GCB+∠CHA=∠HAB+∠CHA=90°．
∴∠CQA=90°．
∴CG⊥AH．

（3）AH=nCG，AH⊥CG．
理由如下：
延長AH與CG交于點N，如圖③，
由旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)可得：EF=AB，F(xiàn)G=BC，∠EFG=∠ABC．
∵四邊形ABCD是矩形，AB=nBC，
∴EF=nGF，∠EFG=∠ABC=90°．
∴∠EFG+∠ABC=180°．
∴BH∥EF．
∴△GBH∽△GFE．
∴

BH

BG

=

FE

FG

．
∵

FE

FG

=n=

AB

BC

，
∴

BH

BG

=

AB

BC

．
∵∠ABH=∠CBG，
∴△ABH∽△CBG．
∴

AH

CG

=

AB

CB

=n，∠HAB=∠GCB．
∴AH=nCG，∠HAB+∠AGC=∠GCB+∠AGC=90°．
∴∠ANC=90°．
∴AH⊥CG．

點評：本題通過圖形的運動變化，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識，滲透了變中有不變的辨證思想，是一道好題．