Question

【題目】如圖，已知AM∥BN，∠A=52°，點(diǎn)P是射線AM上的動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點(diǎn)C，D．

（1）求∠CBD的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠APB與∠ADB之間的數(shù)量關(guān)系是否隨之發(fā)生變化？若不變化，請寫出它們之間的關(guān)系，并說明理由，若變化，請寫出變化規(guī)律；

（3）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到使∠ACB=∠ABD時(shí)，求∠ABC的度數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）∠CBD=64°；（2）不變化，∠APB=2∠ADB，證明詳見解析；（3）∠ABC=32°．

【解析】

（1）根據(jù)AM∥BN，得知∠A=52°，再根據(jù)角平分線的定義知∠ABP=∠CBP、∠PBN=∠DBP，可得∠CBD=∠ABN=64°；
（2）由AM∥BN得∠APB=∠PBN、∠ADB=∠DBN，根據(jù)BD平分∠PBN知∠PBN=2∠DBN，從而可得∠APB=2∠ADB；
（3）由AM∥BN得∠ACB=∠CBN，當(dāng)∠ACB=∠ABD時(shí)有∠CBN=∠ABD，即∠ABC=∠DBN，再根據(jù)（1）可得∠CBD=64°，∠ABN=128°，即可得答案．

（1）∵AM∥BN，

∴∠A+∠ABN=180°，

∵∠A=52°，

∴∠ABN=128°，

∵BC、BD分別平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBP=∠ABP，∠DBP=∠NBP，

∴∠CBD=∠ABN=64°；

（2）不變化，∠APB=2∠ADB，

證明：∵AM∥BN，

∴∠APB=∠PBN，

∠ADB=∠DBN，

又∵BD平分∠PBN，

∴∠PBN=2∠DBN，

∴∠APB=2∠ADB；

（3）∵AD∥BN，

∴∠ACB=∠CBN，

又∵∠ACB=∠ABD，

∴∠CBN=∠ABD，

∴∠ABC=∠DBN，

由（1）可得，∠CBD=64°，∠ABN=128°，

∴∠ABC=（128°﹣64°）=32°．