【題目】(本題滿分12分)已知,直線AP是過正方形ABCD頂點A的任一條直線(不過B、C、D三點),點B關(guān)于直線AP的對稱點為E,連結(jié)AE、BE、DE,直線DE交直線AP于點F.
(1)如圖1,直線AP與邊BC相交.
①若∠PAB=20°,則∠ADF= °,∠BEF= °;
②請用等式表示線段AB、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(2)如圖2,直線AP在正方形ABCD的外部,且,,求線段AF的長.
【答案】(1)①65,45;②;(2)2.
【解析】試題分析:(1)①利用軸對稱的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出即可;②連接BD,BF先依據(jù)翻折的性質(zhì)證明△BEF為等腰直角三角形,從而得到△BFD為直角三角形,由勾股定理可得到BF、FD、BD之間的關(guān)系,然后由△ABD為等腰直角三角形,從而得打BD與AB之間的關(guān)系,故此可得到BF、FD、AB之間的關(guān)系
(2)連接BF、DB.先依據(jù)翻折的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠BFD=90°,然后在△BDF中,由勾股定理可求得BD的長,從而求得AB的長,然后在等腰直角三角形EFB中可求得FG=GB=8,然后再Rt△AGB中,由勾股定理可求得AG的長,由AF=FG-AG可求得AG的長.
試題解析:(1)①翻折的性質(zhì)可知:∠PAB=∠PAE=20°,AE=AB.
∴∠AEB=∠ABE=×(180°-40°)=70°.
∵ABCD為正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∴AE=AD,∠DAE=50°.
∴∠ADE=∠AED=×(180°-50°)=65°.
∴∠BEF=180°-70°-65°=45°.
②線段AB、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系是:BF2+DF2=2AB2.
理由:連接BD,BF.
∵由翻折的性質(zhì)可知:BF=FE,
∴∠FBE=∠FEB=45°.
∴∠BFE=90°.
∴BF2+DF2=DB2.
∵BD=AB,
∴BD2=2AB2.
∴BF2+DF2=2AB2.
(2)如圖2所示:連接BF、DB.
由翻折的性質(zhì)可知:AB=AE,∠1=∠2,EF=BF=8,EG=GB.
又∵AD=AB,
∴AE=AD.
∴∠1=∠3.
∴∠2=∠3.
∵∠4=∠5,
∴∠5+∠3=∠2+∠4=90°.
∴△FDB和△EFB均為直角三角形,
∴BD=.
∴AB=BD=10×=10.
∵在Rt△EFB中,EF=BF,
∴EB=EF=×8=16.
∴GF=EG=BG=8.
在Rt△ABG中,AG==6.
∴AF=FG-AG=8-6=2.
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【題目】
如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy中,直線與軸、軸分別交于點A、B,與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點C(1,m).
(1)求和的值;
(2)過軸上的點D(,0)作平行于y軸的直線(),分別與直線AB和雙曲線交于點P、Q,且PQ=2QD,求△APQ的面積.
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C. 3題 D. 4題
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【題目】如果三角形的三個內(nèi)角度數(shù)比為1:1:2,則這個三角形為( 。
A. 銳角三角形 B. 鈍角三角形
C. 非等腰直角三角形 D. 等腰直角三角形
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