Question

如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB，直角邊AC為邊向外作等邊△ABD和△ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE，AB相交于點(diǎn)G，若∠BAC=30°，下列結(jié)論：其中正
確結(jié)論的序號是

 

①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④△DBF≌△EFA．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),菱形的判定

專題：

分析：由等邊三角形的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)就可以得出△ADF≌△BAC，就可以求得四邊形ADFE是平行四邊形，由破曉四邊形的性質(zhì)而得出EF⊥AC，AD=4AG，就有△DBF≌△EFA．

解答：解：∵△ABD和△ACE都是等邊三角形，
∴AD=BD=AB，AE=CE=AC，∠ADB=∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠AEC=∠ACE=60°．
∵F是AB的中點(diǎn)，
∴∠BDF=∠ADF=30°，∠DFA=∠DFB=90°，BF=AF=

1

2

AB．
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，AD=2AF．
∴BC=

1

2

AB，∠ADF=∠BAC，
∴AF=BF=BC．
在Rt△ADF和Rt△BAC中

AD=BA AF=BC

，
∴Rt△ADF≌Rt△BAC（HL），
∴DF=AC，
∴AE=AC．
∵∠BAC=30°，
∴∠BAC+∠CAE=∠BAE=90°，
∴∠DFA=∠EAB，
∴DF∥AE，
∴四邊形ADFE是平行四邊形，故②錯誤；
∴AD=EF，AD∥EF．
∴∠DAC=∠AHE．
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=90°，
∴∠AHE=90°，
∴EF⊥AC．①正確；
∵四邊形ADFE是平行四邊形，
∴2GF=2GA=AF．
∴AD=4AG．故③正確．
在Rt△DBF和Rt△EFA中

BD=FE DF=EA

，
∴Rt△DBF≌Rt△EFA（HL）．故④正確，
故答案為：①③④．

點(diǎn)評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，垂直的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵．