【題目】如圖1,點A(8,1)、B(n,8)都在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,過點A作AC⊥x軸于C,過點B作BD⊥y軸于D.

(1)求m的值和直線AB的函數(shù)關(guān)系式;

(2)動點P從O點出發(fā),以每秒2個單位長度的速度沿折線OD﹣DB向B點運動,同時動點Q從O點出發(fā),以每秒1個單位長度的速度沿折線OC向C點運動,當(dāng)動點P運動到D時,點Q也停止運動,設(shè)運動的時間為t秒.

①設(shè)△OPQ的面積為S,寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式;

②如圖2,當(dāng)?shù)腜在線段OD上運動時,如果作△OPQ關(guān)于直線PQ的對稱圖形△O′PQ,是否存在某時刻t,使得點O′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上?若存在,求O′的坐標(biāo)和t的值;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)m=8,直線AB的解析式為y=﹣x+9;

(2)S=t×8=4t(4<t≤4.5);

存在,O′(4,2).

當(dāng)t=個長度單位時,O′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上.

析】

試題分析:(1)由于點A(8,1)、B(n,8)都在反比例函數(shù)y=的圖象上,根據(jù)反比例函數(shù)的意義求出m,n,再由待定系數(shù)法求出直線AB的解析式;

(2)①由題意知:OP=2t,OQ=t,由三角形的面積公式可求出解析式;

②通過三角形相似,用t的代數(shù)式表示出O′的坐標(biāo),根據(jù)反比例函數(shù)的意義可求出t值.

試題解析:(1)∵點A(8,1)、B(n,8)都在反比例函數(shù)y=的圖象上,

∴m=8×1=8,∴y=,∴8=,即n=1,

設(shè)AB的解析式為y=kx+b,

把(8,1)、B(1,8)代入上式得:

,解得:

∴直線AB的解析式為y=﹣x+9;

(2)①由題意知:OP=2t,OQ=t,

當(dāng)P在OD上運動時,

S==t2(0<t≤4),

當(dāng)P在DB上運動時,

S=t×8=4t(4<t≤4.5);

②存在,

當(dāng)O′在反比例函數(shù)的圖象上時,

作PE⊥y軸,O′F⊥x軸于F,交PE于E,

則∠E=90°,PO′=PO=2t,QO′=QO=t,

由題意知:∠PO′Q=∠POQ,∠QO′F=90°﹣∠PO′E,

∠EPO′=90′﹣∠PO′E,

∴△PEO′∽△O′FQ,

,

設(shè)QF=b,O′F=a,

則PE=OF=t+b,O′E=2t﹣a,

,

解得:a=,b=,

∴O′(t, t),

當(dāng)O′在反比例函數(shù)的圖象上時,

,

解得:t=±,

∵反比例函數(shù)的圖形在第一象限,

∴t>0,∴t=.∴O′(4,2).

當(dāng)t=個長度單位時,O′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上.

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