Question

如圖，在平面平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-2x+4交x軸于點(diǎn)A，交y軸與點(diǎn)B，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作直線CD⊥x軸于點(diǎn)D，點(diǎn)P是直線CD上的動點(diǎn)．
（1）填空：線段OA的長為

 

；線段OB的長為

 

；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）是否存在這樣的點(diǎn)P，使△POB為等腰三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的關(guān)系，函數(shù)值為零時(shí)，可得相應(yīng)自變量的值；自變量為零時(shí)，可得相應(yīng)的函數(shù)值；
（2）根據(jù)線段中點(diǎn)公式：線段兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平均數(shù)是中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，線段兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平均數(shù)是中點(diǎn)的縱坐標(biāo)，可得答案；
（3）分類討論：①當(dāng)PO=PB時(shí)，②當(dāng)PO=OB時(shí)，③當(dāng)PB=OB時(shí)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時(shí)，-2x+4=0．解得x=2，即OA=2．
當(dāng)x=0時(shí)，y=4，即OB=4，
故答案為：2，4；
（2）A（2，0），B（0，4），由中點(diǎn)坐標(biāo)，得C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

2+0

2

=1，縱坐標(biāo)為

0+4

2

=2，
即C（1，2）；
（3）存在這樣的點(diǎn)P，使△POB為等腰三角形，理由如下：
設(shè)P（1，a），
①當(dāng)PO=PB時(shí)，平方，得PO²=PB²，即1+a²=1²+（a-4）²，
化簡，得8a=16．解得a=2，即P₁（1，2）；
②當(dāng)PO=OB時(shí)，平方，得PO²=OB²，即1+a²=4²，
解得a=±

15

，即P₂（1，

15

），P₃（1，-

15

）；
③當(dāng)PB=OB時(shí)，平方，得
PB²=OB²，即1+（a-4）²=4²，解得a=4±

15

，即P₄（1，4+

15

），P₅（1，4-

15

），
綜上所述：存在這樣的點(diǎn)P，使△POB為等腰三角形，P₁（1，2）；P₂（1，

15

），P₃（1，-

15

）；P₄（1，4+

15

），P₅（1，4-

15

）．

點(diǎn)評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了函數(shù)值與自變量的關(guān)系，（2）利用了線段中點(diǎn)公式：線段兩端點(diǎn)的橫坐標(biāo)的平均數(shù)是中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，線段兩端點(diǎn)的縱坐標(biāo)的平均數(shù)是中點(diǎn)的縱坐標(biāo)；（3）分類討論是解題關(guān)鍵．