Question

如圖，在平面平面直角坐標系中，直線y=-2x+4交x軸于點A，交y軸與點B，點C是AB的中點，過點C作直線CD⊥x軸于點D，點P是直線CD上的動點．
（1）填空：線段OA的長為

 

；線段OB的長為

 

；
（2）求點C的坐標；
（3）是否存在這樣的點P，使△POB為等腰三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)自變量與函數(shù)值的關系，函數(shù)值為零時，可得相應自變量的值；自變量為零時，可得相應的函數(shù)值；
（2）根據(jù)線段中點公式：線段兩端點的橫坐標的平均數(shù)是中點的橫坐標，線段兩端點的縱坐標的平均數(shù)是中點的縱坐標，可得答案；
（3）分類討論：①當PO=PB時，②當PO=OB時，③當PB=OB時，可得關于a的方程，根據(jù)解方程，可得答案．

解答：解：（1）當y=0時，-2x+4=0．解得x=2，即OA=2．
當x=0時，y=4，即OB=4，
故答案為：2，4；
（2）A（2，0），B（0，4），由中點坐標，得C點的橫坐標為

2+0

2

=1，縱坐標為

0+4

2

=2，
即C（1，2）；
（3）存在這樣的點P，使△POB為等腰三角形，理由如下：
設P（1，a），
①當PO=PB時，平方，得PO²=PB²，即1+a²=1²+（a-4）²，
化簡，得8a=16．解得a=2，即P₁（1，2）；
②當PO=OB時，平方，得PO²=OB²，即1+a²=4²，
解得a=±

15

，即P₂（1，

15

），P₃（1，-

15

）；
③當PB=OB時，平方，得
PB²=OB²，即1+（a-4）²=4²，解得a=4±

15

，即P₄（1，4+

15

），P₅（1，4-

15

），
綜上所述：存在這樣的點P，使△POB為等腰三角形，P₁（1，2）；P₂（1，

15

），P₃（1，-

15

）；P₄（1，4+

15

），P₅（1，4-

15

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)綜合題，（1）利用了函數(shù)值與自變量的關系，（2）利用了線段中點公式：線段兩端點的橫坐標的平均數(shù)是中點的橫坐標，線段兩端點的縱坐標的平均數(shù)是中點的縱坐標；（3）分類討論是解題關鍵．