Question

【題目】在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．點P為直線AB上一個動點（點P不與點A，B重合），連接PC，點D在直線BC上，且PD=PC．過點P作PE^PC，點D，E在直線AC的同側(cè)，且PE=PC，連接BE．
（1）情況一：當(dāng)點P在線段AB上時，圖形如圖1 所示；
情況二：如圖2，當(dāng)點P在BA的延長線上，且AP＜AB時，請依題意補(bǔ)全圖2；．

（2）請從問題（1）的兩種情況中，任選一種情況，完成下列問題：
①求證：∠ACP=∠DPB；
②用等式表示線段BC，BP，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：補(bǔ)全圖形如圖①所示

（2）

解：情況一：

①證明：如圖②，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∵PD=PC，

∴∠1=∠D，

∵∠ACB=∠1+∠2=45°，∠ABC=∠D+∠=45°，

∴∠3=∠2，

即∠ACP=∠DPB；

②BC= BP+BE；理由：

證明：如圖③過P作PF⊥PB交BC于F，

∵PF⊥PB，

∴∠BPF=90°，

∵EP⊥PC，

∴∠EPC=90°，

∴∠4+∠5=∠6+∠5，

∴∠4=∠6，

∵∠PBF=45°，

∴∠PBF=∠PFB=45°，

∴PB=PF，

在△PBE與△PFC中，

，

∴△PBE≌△PFC，

∴BE=FC，

∵BF= BP，

∴BC=BF+FC= BP+BE．

情況二：①如圖④，

∵PD=PC，

∴∠PDC=∠PCD，

∵∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠3=∠PDC﹣45°，∠ACP=∠PCD﹣45°

，∴∠BPD=∠ACP；

②如圖④，過P作PF⊥PB交BC于F，

∵PF⊥PB，

∴∠BPF=90°，

∵EP⊥PC，

∴∠EPC=90°，

∴∠4+∠BPC=∠6+∠BPC=90°，

∴∠4=∠6，

∵∠PBF=45°，

∴∠PBF=∠PFB=45°，

∴PB=PF，

在△PBE與△PFC中，

，

∴△PBE≌△PFC，

∴BE=FC，

∵BF= BP，

∴BC=BF﹣FC= BP﹣BE．

【解析】（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；（2）情況一：①根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABC=∠ACB=45°，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠1=∠D根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；②根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠4=∠6，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PBF=∠PFB=45°，于是得到PB=PF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=FC，由勾股定理得到BF= BP，即可得到結(jié)論；
情況二：①，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠PDC=∠PCD，由∠ABC=∠ACB=45°，于是得到∠3=∠PDC﹣45°，∠ACP=∠PCD﹣45°，即可得到結(jié)論；根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠4=∠6，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠PBF=∠PFB=45°，于是得到PB=PF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=FC，根據(jù)勾股定理得到BF= BP于是得到結(jié)論．