Question

已知：AB是⊙O的直徑，直線CP切⊙O于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥CP于D．
（1）求證：△ACB∽△CDB；
（2）若⊙O的半徑為1，∠BCP=30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：幾何綜合題

分析：（1）由CP是⊙O的切線，得出∠BCD=∠BAC，AB是直徑，得出∠ACB=90°，所以∠ACB=∠CDB=90°，得出結(jié)論△ACB∽△CDB；
（2）求出△OCB是正三角形，陰影部分的面積=S_扇形OCB-S_△OCB=

1

6

π-

3

4

．

解答：（1）證明：如圖，連接OC，

∵直線CP是⊙O的切線，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°
∴∠BCD=∠ACO，
又∵∠BAC=∠ACO，
∴∠BCD=∠BAC，
又∵BD⊥CP
∴∠CDB=90°，
∴∠ACB=∠CDB=90°
∴△ACB∽△CDB；
（2）解：如圖，連接OC，

∵直線CP是⊙O的切線，∠BCP=30°，
∴∠COB=2∠BCP=60°，
∴△OCB是正三角形，
∵⊙O的半徑為1，
∴S_△OCB=

3

4

，S_扇形OCB=

60πr2

360

=

1

6

π，
故陰影部分的面積=S_扇形OCB-S_△OCB=

1

6

π-

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了切線的性質(zhì)及扇形面積，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是利用弦切角找角的關(guān)系．