Question

（12分）在中， 分別為所對(duì)的邊，我們稱關(guān)于的一元二次方程為“的☆方程”.根據(jù)規(guī)定解答下列問(wèn)題：

（1）“的☆方程”的根的情況是 （填序號(hào)）；①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；②有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；③沒有實(shí)數(shù)根.

（2）如圖，為⊙的直徑，點(diǎn)為⊙上的一點(diǎn)，的平分線交⊙于點(diǎn)，

求“的☆方程”的解；

（3）若是“的☆方程”的一個(gè)根，其中均為正整數(shù)，且，求：①求的值；②求“的☆方程”的另一個(gè)根.

Answer 1

（1）②；（2）；（3）①；②

【解析】

試題分析：（1）判斷一元二次方程根的情況的依據(jù)是根的判別式，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/CZSX/web/STSource/2015031206130225077007/SYS201503120614406451184842_DA/SYS201503120614406451184842_DA.004.png">為三角形三邊，故恒成立，故原方程必有兩個(gè)不等實(shí)根；（2）圖中的關(guān)鍵信息是直徑和角平分線，得到是等腰直角三角形后，適當(dāng)設(shè)值代入即可求出方程的解；（3）根據(jù)方程根的定義將代入原方程，得到，再結(jié)合得出的確切值，進(jìn)而求出的值，代入求方程的解.本小題中求的確切值是難點(diǎn)也是解題關(guān)鍵.

試題解析：（1）②；

（2）由圖知，為直徑 平分

和都是所對(duì)的圓周角

為等腰直角三角形

不妨設(shè)，，故原方程化為

解得

“的☆方程”的解為；

（3）①將代入原方程，得

且均為正整數(shù) 能被整除

② （不能構(gòu)成三角形，舍）或

原方程為 解得 方程另一根為.

考點(diǎn)：1.一元二次方程根的判別式；2.圓的性質(zhì)；3.一元二次方程與不等式.