Question

如圖，P為等腰Rt△ABC外一點(diǎn)，∠BAC=90°，連PB、PC、PA，PA交BC于E點(diǎn)，且∠APC=45°，下列結(jié)論：
①∠BPA=45°．②

S△ABE

S△ACE

=

PB

PC

．③PB+PC=

2

PA．
其中正確的是（　　）

• A、①
• B、①②
• C、②
• D、①②③

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：求出∠ABC=∠APC，即推出A、B、P、C四點(diǎn)共圓，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)即可求出∠APB的度數(shù)；求出△BAE∽△PAB，推出

BE

BP

=

AB

AP

，證△CAE∽△PAC，推出

CE

PC

=

AC

AP

，推出

BP

CP

=

BE

CE

，根據(jù)三角形的面積公式即可求出②正確；過(guò)A作AD⊥PA，AD交PB的延長(zhǎng)線于D，證△ADB≌△APC，推出PC=BD，AD=AP，得出△DAP是等腰直角三角形，由勾股定理求出DP=

2

AP，即可推出③正確．

解答：解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵∠APC=45°，
∴∠ABC=∠APC，
即A、B、P、C四點(diǎn)共圓，
∴∠APB=∠ACB=45°，
∴①正確；
∵∠APB=∠ABC=45°，∠BAE=∠PAB，
∴△BAE∽△PAB，
∴

BE

BP

=

AB

AP

，
同理可證△CAE∽△PAC，
∴

CE

PC

=

AC

AP

，
∵AB=AC，
∴

BE

BP

=

CE

PC

，
即

BP

CP

=

BE

CE

，
∵△ABE的邊BE上的高和△ACE的邊CE上的高相同，設(shè)高為h，
∴

S△ABE

S△ACE

=

1 2 ×BE×h

1 2 ×CE×h

=

BE

CE

=

BP

PC

，
∴②正確；
過(guò)A作AD⊥PA，AD交PB的延長(zhǎng)線于D，
∵∠BAC=90°，AD⊥PA，
∴∠DAP=90°=∠BAC，
∴∠1+∠2=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，
∵A、B、P、C四點(diǎn)共圓，
∴∠4=∠ACP，
在△ADB和△APC中

∠1=∠3 AB=AC ∠4=∠ACP

，
∴△ADB≌△APC（ASA），
∴PC=BD，AD=AP，
∴△DAP是等腰直角三角形，
由勾股定理得：DP=

AP2+AP2

=

2

AP，
∵DP=BP+BD=BP+PC，
即PB+PC=

2

PA，
∴③正確；
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓內(nèi)接四邊形，相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，等腰直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．