Question

【題目】如圖，已知為的直徑，是弦，，，于．

求證：是的切線；

若，求的長度．

Answer 1

【答案】(1)詳見解析；（2）．

【解析】

（1）連接OC，BC，由AB為圓O的直徑，得到∠ACB為直角，又∠BAC=30°，得到∠ABC=60°，再由OC=OB，利用等邊對等角得到∠OBC=∠OCB，得到∠OCB的度數(shù)為60°，又∠ABD=120°，利用∠ABD-∠ABC求出∠CBD的度數(shù)，在直角三角形BCD中，求出∠BCD的度數(shù)為30°，可得出∠OCD為直角，即CD與OC垂直，即可得出CD為圓O的切線，得證；
（2）在直角三角形ABC中，利用30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，根據(jù)AB的長求出BC的長，在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出cos∠BCD，再由BC的長及特殊角的三角函數(shù)值即可求出CD的長．

解：證明：連接，，如圖所示；

∵為圓的直徑，

∴，又，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

則為圓的切線；在中，，，

∴，

在中，，，

∴．