Question

先觀察下列等式，然后用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題．
①

1

1×2

=1-

1

2

；

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；┅┅；
②

1

1×3

=

1

2

×（1-

1

3

）；

1

3×5

=

1

2

×（

1

3

-

1

5

）；

1

5×7

=

1

2

×（

1

5

-

1

7

）；┅┅；
（1）計算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

=

 

；
（2）探究

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

 

；（用含有n的式子表示）
（3）解方程：

1

x(x+1)

+

1

(x+1)(x+2)

+

1

(x+2)(x+3)

+…+

1

(x+2014)(x+2015)

=1+

1

x

．

Answer 1

考點：分式的加減法

專題：規(guī)律型

分析：（1）觀察已知等式，得到拆項規(guī)律，原式利用拆項法變形，抵消合并即可得到結(jié)果；
（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，計算即可得到結(jié)果；
（3）方程利用拆項法變形，計算即可求出解．

解答：解：（1）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

5

-

1

6

=1-

1

6

=

5

6

；
（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；
（3）方程變形得：

1

x

-

1

x+1

+

1

x+1

-

1

x+2

+…+

1

x+2014

-

1

x+2015

=1+

1

x

，
即

1

x

-

1

x+2015

=1+

1

x

，
整理得：-

1

x+2015

=1，即x+2015=-1，
解得：x=-2016，
經(jīng)檢驗x=-2016是分式方程的解．
故答案為：（1）

5

6

；（2）

n

n+1

點評：此題考查了分式的加減法，熟練運用拆項方法是解本題的關(guān)鍵．