Question

如圖，點A、B的坐標分別為（a，0）、（b，0）且

a-4

=-（b+4）²；P為y軸上B點下方一點，PB=m（m＞0），以AP為邊作等腰Rt△APM，其中PM=PA，點M落在第四象限．
（1）求S_△APM；
（2）用m的代數(shù)式表示點M的坐標
（3）若直線MB與x軸交于點Q，判斷點Q的坐標是否隨m的變換而變化，寫出結(jié)論并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標與圖形性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)PB易求得OP的長，可得OP的長，即可求得AP的長，根據(jù)等腰直角三角形面積計算即可解題；
（2）作MN⊥y軸于點N證得△AOP≌△PNM，得到OP=NM，OA=NP．根據(jù)PB=m，用m表示出NM和ON=OP+NP，根據(jù)點M在第四象限，表示出點M的坐標即可．
（3）設(shè)直線MB的解析式為y=nx-4，根據(jù)點M（m+4，-m-8）．然后求得直線MB的解析式為，從而得到無論m的值如何變化，點Q的坐標都為（-4，0）．

解答：解：（1）∵△APM是等腰三角形，且PM=PA，
∴S_△APM=

1

2

AP²=

1

2

[（m+4）²+4²]
=

1

2

m²+4m+8；
（2）作MN⊥y軸于點N．

∵△APM為等腰直角三角形，PM=PA，
∴∠APM=90°．
∴∠OPA+∠NPM=90°．
∵∠NMP+∠NPM=90°，
∴∠OPA=∠NMP，
在△AOP和△PNM中，

∠AOP=∠PNM=90° ∠OPA=∠NMP AP=PM

，
∴△AOP≌△PNM（AAS），
∴OP=NM，OA=NP．
∵PB=m（m＞0），
∴NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵點M在第四象限，
∴點M的坐標為（m+4，-m-8）．
（3）答：點Q的坐標不變．
設(shè)直線MB的解析式為y=nx-4（n≠0）．
∵點M（m+4，-m-8）．
在直線MB上，
∴-m-8=n（m+4）-4．
整理，得（m+4）n=-m-4．
∵m＞0，
∴m+4≠0．
解得 n=-1．
∴直線MB的解析式為y=-x-4．
∴無論m的值如何變化，點Q的坐標都為（-4，0）．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質(zhì)，本題中求證△AOP≌△PNM是解題的關(guān)鍵．