【題目】如圖1、圖2,在圓O中,OA=1,AB=,將弦AB與弧AB所圍成的弓形(包括邊界的陰影部分)繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)α度(0≤α≤360),點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)是A′.

(1)點(diǎn)O到線段AB的距離是   ;∠AOB=   °;點(diǎn)O落在陰影部分(包括邊界)時,α的取值范圍是   ;

(2)如圖3,線段B與優(yōu)弧ACB的交點(diǎn)是D,當(dāng)∠A′BA=90°時,說明點(diǎn)DAO的延長線上;

(3)當(dāng)直線A′B與圓O相切時,求α的值并求此時點(diǎn)A′運(yùn)動路徑的長度.

【答案】(1);120;30°≤α≤60°(2)D在AO的延長線上(3)(3)①α=120°或300°當(dāng)α=120°時,A′運(yùn)動路徑的長度=;當(dāng)α=300時,A′運(yùn)動路徑的長度=

【解析】

⑴根據(jù)垂徑定理可得AMBM,在直角三角形中可知O到線段AB的距離,再根據(jù)正弦定理,結(jié)合圓的性質(zhì)即可求出答案;(2)利用直徑所對的圓周角為直角的性質(zhì),得出AD為直徑,進(jìn)而得出點(diǎn)DAO的延長線上;(3)點(diǎn)A'的運(yùn)動路徑為以B為圓心,AB為半徑的圓弧,當(dāng)直線A'B與圓0相切時,分兩種情況,分別計(jì)算兩種情況下的點(diǎn)A'的運(yùn)動路徑的長度.

(1)如圖1,過點(diǎn)O作ODAB于點(diǎn)D,

由垂徑定理知,AD=AB=,

又OA=1,

∴sin∠AOD==

∴∠AOD=60°.

∴OD=OAcos60°=

又OA=OB,

∴∠AOB=2∠AOD=120°.

如圖2,當(dāng)A′B與OB重疊時,a=∠OBA=30°;

當(dāng)OB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)至與圓相交,交點(diǎn)為B′,連接OB′,則OB=OB′=BB′,此時△OBB′是等邊三角形,

∴∠OBB′=60°,

α的取值范圍是:30°≤α≤60°.

故答案是:;120;30°≤α≤60°;

(2)連接AD,∵∠A′BA=90°,

AD為直徑,

所以D在AO的延長線上;

(3)①當(dāng)A′B與O相切,

∠OBA′=90°,

此時∠ABA′=90°+30°=120°

∠ABA′=90°﹣30°=60°

α=120°或300°

當(dāng)α=120°時,

A′運(yùn)動路徑的長度==

當(dāng)α=300時,

A′運(yùn)動路徑的長度==

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3)在(2)的條件下點(diǎn)Mx軸上線段OD之間的一動點(diǎn),當(dāng)△PAM為等腰三角形時,直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

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