Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y＝－x＋3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OB向點(diǎn)B運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)B后立刻以原來的速度沿BO返回．點(diǎn)P，Q運(yùn)動速度均為每秒1個單位長度，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時停止運(yùn)動，點(diǎn)Q也同時停止．連結(jié)PQ，設(shè)運(yùn)動時間為t(t>0)秒．
(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含t的代數(shù)式表示）；
(2)當(dāng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O向點(diǎn)B運(yùn)動時(未到達(dá)點(diǎn)B)，是否存在實(shí)數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，請說明理由；
(3)伴隨著P，Q兩點(diǎn)的運(yùn)動，線段PQ的垂直平分線為直線l．是否存在t的值，使得直線l經(jīng)過點(diǎn)O?若存在，請求出所有t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）P（，﹣x+3）；
（2）不存在實(shí)數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17；
（3），t=或時，O在l的垂直平分線上．

試題分析：（1）表示邊長首要就是表示出來，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)及線段成比例等性質(zhì)易表示出，PD，PC的長，即得坐標(biāo)；
（2）討論面積一般是計(jì)算底和高，然后表示出面積解析式，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)討論最值或范圍．而第一問求得OA=3，OB=4，易得S_△AOB僅為6，而S_△BQP≤S_△AOB，所以定不存在實(shí)數(shù)t，使得面積大于17；
（3）垂直平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等，利用這個性質(zhì)，我們只要表示出OP，和OQ即可．但討論時注意Q點(diǎn)的運(yùn)動時個往返的過程，要有兩種情形．
試題解析：（1）如圖，過點(diǎn)P作PC⊥OA于C，PD⊥OB于D．

∵y=﹣x+3的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B
∴A（4，0），B（0，3），
在Rt△BDP中，
∵OB=3，OA=4，
∴AB=5．
∵BP∥OA，
∴，
∵BP=t，
∴，
∴．
∵由點(diǎn)P過AB，
∴將x=代入y=﹣x+3，得y=﹣x+3，
∴P（，﹣x+3）；
（2）不存在實(shí)數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17．
∵Q、P在OB、OA上運(yùn)動，
∴S_△BQP≤S_△AOB．
∵S_△AOB=OA·OB==6，
∴S_△BQP≤6＜17，
∴不存在實(shí)數(shù)t，使得△BPQ的面積大于17；
（3）∵P（，﹣x+3），
∴OC=，PC=﹣x+3，
∴OP²=（）²+（﹣x+3）²，
∵O在l的垂直平分線上，
∴OP=OQ．
①當(dāng)0＜t≤3時，OP=t，則t²=（）²+（﹣t+3）²，解得 t=，符合要求．
②當(dāng)3＜t≤5時，
∵BQ=t﹣3，
∴OQ=3﹣（t﹣3）=6﹣t，
∴（6﹣t）²=（）²+（﹣t+3）²
解得 t=，符合要求．
綜上所述，t=或時，O在l的垂直平分線上．