Question

操作發(fā)現(xiàn)
將一副直角三角板如圖①擺放，能夠發(fā)現(xiàn)等腰直角三角板ABC的斜邊BC與30°角的直角三角板DEF的長(zhǎng)直角邊DE重合．
問題解決
將圖①中的等腰三角板ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)C落在BF上．AC與BD交于點(diǎn)O，連接CD，如圖②．
（1）求證：△CDO是等腰三角形；
（2）若DF=2

3

，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得BC與DE的關(guān)系，∠DBC的度數(shù)，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，可得∠DOC、∠OBC與∠OCB的關(guān)系，根據(jù)等腰三角形的判定，可得答案；
（2）根據(jù)正切的意義，可得BD的長(zhǎng)，根據(jù)正弦的意義，可得答案．

解答：
（1）證明：ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，
∴BC=DE，∠DEF=30°，
∴∠BDC=∠BCD．
∠BDC=∠BCD=（180°-∠DBC）÷2=75°．
∵∠ACB=45°，∠DOC=∠OBC+∠OCB，
∴∠DOC=30°+45°=75°．
∴∠COD=∠BDC．
∴△CDO是等腰三角形；
（2）在Rt△BDF中，DF=2

3

，

DF

BD

=tan∠DBF=tan30°=

3

3

，
∴BD=

3

•2

3

=6．
BC=BD=6
在Rt△ABC中，

AC

BC

=

AC

6

=sin45°=

2

2

，
∴AC=

2

2

•6=3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，（1）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等，三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定；（2）銳角三角函數(shù)是解題關(guān)鍵．