【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB=AD,對角線BD為⊙O的直徑,AC與BD交于點E.點F為CD延長線上,且DF=BC.
(1)證明:AC=AF;
(2)若AD=2,AF=,求AE的長;
(3)若EG∥CF交AF于點G,連接DG.證明:DG為⊙O的切線.
【答案】(1)證明見解析;
(2)AE的長為;
(3)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)由圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得:∠ABC+∠ADC=180°,又∠ADF+∠ADC=180°,故∠ABC=∠ADF,結(jié)合已知條件可證△ABC≌△ADF,從而可得結(jié)論;
(2)由(1)得AC=AF,由AB=AB得,得∠ADE=∠ACD.可證△ADE∽△ACD,得,變換比例式從而得解;
(3)通過證明△ADG∽△AFD得∠ADG=∠F.再運用切線的判定定理即可得證.
試題解析:(1)證明:∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵∠ADF+∠ADC=180°,∴∠ABC=∠ADF.
在△ABC與△ADF中,
,
∴△ABC≌△ADF.
∴AC=AF;
(2)由(1)得,AC=AF=.
∵AB=AD,
∴
∴∠ADE=∠ACD.
∵∠DAE=∠CAD,
∴△ADE∽△ACD.
∴.
∴.
(3)證明:∵EG∥CF,∴ .
∴AG=AE.
由(2)得,∴.
∵∠DAG=∠FAD,∴△ADG∽△AFD.
∴∠ADG=∠F.
∵AC=AF,∴∠ACD=∠F.
又∵∠ACD=∠ABD,
∴∠ADG=∠ABD.
∵BD為⊙O的直徑,
∴∠BAD=90°.
∴∠ABD+∠BDA=90°.∴∠ADG+∠BDA=90°.
∴GD⊥BD.
∴DG為⊙O的切線.
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【題目】二次函數(shù)的圖像軸上方的部分沿軸翻折到軸下方,圖像的其余部分保持不變,若直線與該圖像有兩個公共點,則的取值范圍______.
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【題目】如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證ΔADE∽ΔABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,∠A=25°,若以點C為旋轉(zhuǎn)中心,將△ABC旋轉(zhuǎn)θ度到△DEC的位置,使點B恰好落在邊DE上,則θ等于_____.
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【題目】閱讀下面內(nèi)容:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了《二次根式》和《乘法公式》,聰明的你可以發(fā)現(xiàn):
當(dāng)a>0,b>0時:
∵()2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時取等號.
請利用上述結(jié)論解決以下問題:
(1)請直接寫出答案:當(dāng)x>0時,x+的最小值為 .當(dāng)x<0時,x+的最大值為 ;
(2)若y=,(x>﹣1),求y的最小值;
(3)如圖,四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,△AOB、△COD的面積分別為4和9,求四邊形ABCD面積的最小值.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C在AB的延長線上,AD平分∠CAE交⊙O于點D,且AE⊥CD,垂足為點E,BC=3,CD=3
(1)求證:直線CE是⊙O的切線;
(2)求⊙O的半徑;
(3)求弦AD的長.
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【題目】某學(xué)習(xí)小組做“用頻率估計概率”的實驗時,統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率,繪制了如下折線統(tǒng)計圖,則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是( 。
A. 袋中裝有大小和質(zhì)地都相同的3個紅球和2個黃球,從中隨機取一個,取到紅球
B. 擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子,向上的面的點數(shù)是偶數(shù)
C. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,兩次都出現(xiàn)反面
D. 先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的正六面體骰子,兩次向上的面的點數(shù)之和是7或超過9
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【題目】已知:△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi),三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0,3)、B(3,4)、C(2,2)(正方形網(wǎng)格中每個小正方形的邊長是1個單位長度).
(1)畫出△ABC關(guān)于x軸的軸對稱圖形,得到的△A1B1C1,點C1的坐標(biāo)是 ;
(2)以點B為位似中心,在網(wǎng)格內(nèi)畫出△A2B2C2,使△A2B2C2與△ABC位似,且位似比為2:1,點C2的坐標(biāo)是 ;
(3)△A2B2C2的面積是 平方單位.
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