【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,過⊙T外一點P引它的兩條切線,切點分別為M,N,若,則稱P為⊙T的環(huán)繞點.
(1)當⊙O半徑為1時,
①在中,⊙O的環(huán)繞點是___________;
②直線y=2x+b與x軸交于點A,y軸交于點B,若線段AB上存在⊙O的環(huán)繞點,求b的取值范圍;
(2)⊙T的半徑為1,圓心為(0,t),以為圓心,為半徑的所有圓構(gòu)成圖形H,若在圖形H上存在⊙T的環(huán)繞點,直接寫出t的取值范圍.
【答案】(1)①.②b的取值范圍為或.(2)
【解析】
(1)①根據(jù)環(huán)繞點的定義及作圖找到即可判斷;
②當點B在y軸正半軸上時,根據(jù)環(huán)繞點的定義考慮以下兩種特殊情況:線段AB與半徑為2的⊙O相切時,與當點B經(jīng)過半徑為1的⊙O時,分別求出此時的OB的長,即可得到可得b的取值范圍,再由點B在y軸負半軸上時同理可得b的取值;
(3)根據(jù)題意作出圖形,求出OS與x軸正半軸的夾角為30°,得∠BOC=60°,圖形H為射線OB與射線OC圍成的一個扇形區(qū)域(不包括點O,半徑可無窮大),分當t≥0與t<0時,根據(jù)環(huán)繞點的定義進行求解.
(1)①如圖,
∵P1在圓上,故不是環(huán)繞點,
P2引圓兩條切線的夾角為90°,滿足,故為⊙O的環(huán)繞點
P3(0,2),∵P3O=2OM,∠P3MO=90°,∴∠MOP3=30°,
同理:∠NOP3=30°,∴,故為⊙O的環(huán)繞點
故填:;
②半徑為1的⊙O的所有環(huán)繞點在以O為圓心,半徑分別為1和2的兩個圓之間(如下圖陰影部分所示,含大圓,不含小圓).
ⅰ)當點B在y軸正半軸上時,如圖1,圖2所示.
考慮以下兩種特殊情況:線段AB與半徑為2的⊙O相切時,;
當點B經(jīng)過半徑為1的⊙O時,OB=1.
因為線段AB上存在⊙O的環(huán)繞點,所以可得b的取值范圍為 ;
②當點B在y軸負半軸上時,如圖3,圖4所示.
同理可得b的取值范圍為 .
綜上,b的取值范圍為或.
(3)點記為S,設OS與x軸正半軸的夾角為a
∵tana=
∴a=30°,
如圖,圓S與x軸相切,過O點作⊙S的切線OC,
∵OC、OB都是⊙S的切線
∴∠BOC=2∠SOB=60°,
當m取遍所有整數(shù)時 ,就形成圖形H,
圖形H為射線OB與射線OC圍成的一個扇形區(qū)域(不包括點O,半徑可無窮大)
當t≥0時,過T作OC的垂線,垂足為M,當TM>2時,圖形H不存在環(huán)繞點,OT=2TM,故t≤4,
當t<0時,圖形H上的點到T的距離都大于OT,當OT≥2時,圖形H不存在⊙T環(huán)繞點,因此t>-2,
綜上:.
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【題目】為了解學生的課外閱讀情況,七(1)班針對“你最喜愛的課外閱讀書目”進行調(diào)查(每名學生必須選一類且只能選一類閱讀書目),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果列出統(tǒng)計表,繪制成扇形統(tǒng)計圖.
男、女生所選類別人數(shù)統(tǒng)計表
類別 | 男生(人) | 女生(人) |
文學類 | 12 | 8 |
史學類 | 5 | |
科學類 | 6 | 5 |
哲學類 | 2 |
根據(jù)以上信息解決下列問題
(1) , ;
(2)扇形統(tǒng)計圖中“科學類”所對應扇形圓心角度數(shù)為 ;
(3)從選哲學類的學生中,隨機選取兩名學生參加學校團委組織的辯論賽,請用樹狀圖或列表法求出所選取的兩名學生都是男生的概率.
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【題目】在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,E是邊AD上的一個動點(與點A,D不重合),連接EO并延長,交BC于點F,連接BE,DF.下列說法:
① 對于任意的點E,四邊形BEDF都是平行四邊形;
② 當∠ABC>90°時,至少存在一個點E,使得四邊形BEDF是矩形;
③ 當AB<AD時,至少存在一個點E,使得是四邊形BEDF是菱形;
④ 當∠ADB=45°時,至少存在一個點E,使得是四邊形BEDF是正方形.
所有正確說法的序號是:_________.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AD>AB,連接AC,將線段AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AE,平移線段AE得到線段DF(點A與點D對應,點E與點F對應),連接BF,分別交直線AD,AC于點G,M,連接EF.
(1) 依題意補全圖形;
(2) 求證:EG⊥AD;
(3) 連接EC,交BF于點N,若AB=2,BC=4,設MB=a,NF=b,試比較與之間的大小關(guān)系,并證明.
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【題目】某同學所在年級的500名學生參加志愿者活動,現(xiàn)有以下5個志愿服務項目:A,紀念館志講解員.B.書香社區(qū)圖書整理C.學編中國結(jié)及義賣.D,家風講解員E.校內(nèi)志愿服務,要求:每位學生都從中選擇一個項目參加,為了了解同學們選擇這個5個項目的情況,該同學隨機對年級中的40名同學選擇的志愿服務項目進行了調(diào)查,過程如下:
收集數(shù)據(jù):設計調(diào)查問卷,收集到如下數(shù)據(jù)(志愿服務項目的編號,用字母代號表示)
B,E,B,A,E,C,C,C,B,B,
A,C,E,D,B,A,B,E,C,A,
D,D,B,B,C,C,A,E,B
C,B,D,C,A,C,C,A,C,E,
(1)整理、描述詩句:劃記、整理、描述樣本數(shù)據(jù),繪制統(tǒng)計圖如下,請補全統(tǒng)計表和統(tǒng)計圖
選擇各志愿服務項目的人數(shù)統(tǒng)計表
志愿服務項目 | 劃記 | 人數(shù) |
A.紀念館志愿講解員 | 正 | 8 |
B.書香社區(qū)圖書整理 | ||
C.學編中國結(jié)及義賣 | 正正 | 12 |
D.家風講解員 | ||
E.校內(nèi)志愿服務 | 正 一 | 6 |
合計 | 40 | 40 |
分析數(shù)據(jù)、推斷結(jié)論
(2)抽樣的40個樣本數(shù)據(jù)(志愿服務項目的編號)的眾數(shù)是 (填A﹣E的字母代號)
(3)請你任選A﹣E中的兩個志愿服務項目,根據(jù)該同學的樣本數(shù)據(jù)估計全年級大約有多少名同學選擇這兩個志愿服務項目.
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【題目】不透明的袋子里裝有除標號外完全一樣的三個小球,小球上分別標有,2,3三個數(shù),從袋子中隨機抽取一個小球,記標號為,放回后將袋子搖勻,再隨機抽取一個小球,記標號為.兩次抽取完畢后,直線與反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過的象限相同的概率為__________.
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【題目】已知拋物線和
(1)如何將拋物線平移得到拋物線?
(2)如圖1,拋物線與軸正半軸交于點,直線經(jīng)過點,交拋物線于另一點.請你在線段上取點,過點作直線軸交拋物線于點,連接
①若,求點的橫坐標
②若,直接寫出點的橫坐標
(3)如圖2,的頂點、在拋物線上,點在點右邊,兩條直線、與拋物線均有唯一公共點,、均與軸不平行.若的面積為2,設、兩點的橫坐標分別為、,求與的數(shù)量關(guān)系
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【題目】“校園讀詩詞誦經(jīng)典比賽”結(jié)束后,評委劉老師將此次所有參賽選手的比賽成績(得分均為整數(shù))進行整理,并分別繪制成扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)直方圖,部分信息如下圖:
扇形統(tǒng)計圖 頻數(shù)直方圖
(1)參加本次比賽的選手共有________人,參賽選手比賽成績的中位數(shù)在__________分數(shù)段;補全頻數(shù)直方圖.
(2)若此次比賽的前五名成績中有名男生和名女生,如果從他們中任選人作為獲獎代表發(fā)言,請利用表格或畫樹狀圖求恰好選中男女的概率.
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【題目】已知,如圖1,將繞點旋轉(zhuǎn)得到,延長線于點,使得,連接.
(1)求證:四邊形是平行四邊形;
(2)如圖2,點是邊上任意一點(點與點、不重合),連接交于點,連接,過點作,交于點.
①求證:;
②當點是邊中點時,恰有(為正整數(shù)),求的值.
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