【題目】已知:在四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點E,且ACBD,作BFCD,垂足為點F,BFAC交于點C,BGE=ADE.

(1)如圖1,求證:AD=CD;

(2)如圖2,BHABE的中線,若AE=2DE,DE=EG,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖2中四個三角形,使寫出的每個三角形的面積都等于ADE面積的2倍.

【答案】(1)證明見解析;(2)ACD、ABE、BCE、BHG.

【解析】(1)由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,根據(jù)∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得;

(2)設(shè)DE=a,先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a,據(jù)此知S△ADC=2a2=2S△ADE,證△ADE≌△BGE得BE=AE=2a,再分別求出S△ABE、S△ACE、S△BHG,從而得出答案.

(1)∵∠BGE=∠ADE,∠BGE=∠CGF,

∴∠ADE=∠CGF,

∵AC⊥BD、BF⊥CD,

∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF,

∴∠DAE=∠GCF,

∴AD=CD;

(2)設(shè)DE=a,

則AE=2DE=2a,EG=DE=a,

∴S△ADE=AE×DE=×2a×a=a2,

∵BH是△ABE的中線,

∴AH=HE=a,

∵AD=CD、AC⊥BD,

∴CE=AE=2a,

則S△ADC=ACDE=(2a+2a)a=2a2=2S△ADE;

在△ADE和△BGE中,

∴△ADE≌△BGE(ASA),

∴BE=AE=2a,

∴S△ABE=AEBE=(2a)2a=2a2,

S△ACE=CEBE=(2a)2a=2a2

S△BHG=HGBE=(a+a)2a=2a2,

綜上,面積等于△ADE面積的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求乙隊在2≤x≤6的時間段內(nèi),y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若甲隊施工速度不變,乙隊在施工6小時后,施工速度增加到12米/時,結(jié)果兩隊同時完成了任務(wù).求甲隊從開始施工到完成,所鋪設(shè)的人行道共是多少米?

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(1)問題探究:
如圖1,圖中所示的格點多邊形,其內(nèi)部都只有一個格點,它們的面積與各邊上格點的個數(shù)和的對應(yīng)關(guān)系如下表,請?zhí)顚懴卤聿懗鯯與x之間的關(guān)系式S=

多邊形的序號

多邊形的面積S

2

2.5

3

4

各邊上格點的個數(shù)和x

4


(2)在圖2中所示的格點多邊形,這些多邊形內(nèi)部都有且只有2個格點.探究此時所畫的各個多邊形的面積S與它各邊上格點的個數(shù)和x之間的關(guān)系式S=
(3)請繼續(xù)探索,當(dāng)格點多邊形內(nèi)部有且只有n(n是正整數(shù))個格點時,猜想S與x,n之間的關(guān)系式S=(用含有字母x,n的代數(shù)式表示)
(4)問題拓展:
請在正三角形網(wǎng)格中的類似問題進行探究:在圖3、4中正三角形網(wǎng)格中每個小正三角形面積為1,小正三角形的頂點為格點,以格點為頂點的多邊形稱為格點多邊形,圖是該正三角形格點中的兩個多邊形.
根據(jù)圖中提供的信息填表:

格點多邊形各邊上的格點的個數(shù)

格點多邊形內(nèi)部的格點個數(shù)

格點多邊形的面積

多邊形1(圖3)

8

1

8

多邊形2(圖4)

7

3

11

一般格點多邊形

a

b

S

則S與a,b之間的關(guān)系為S=(用含a,b的代數(shù)式表示).

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