Question

如圖，在一個邊長為9cm的正方形ABCD中，點E、M分別是線段AC、CD上的動點，連結DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于點H，交AD于點N．設點M從點C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CD向點D運動；點E同時從點A出發(fā)，以

2

cm/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t＞0）：
（1）當點F是AB的三等分點時，求出對應的時間t；
（2）當點F在AB邊上時，連結FN、FM：
①是否存在t值，使FN=MN？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由；
②是否存在t值，使FN=FM？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)AB∥CD，得到△AFE∽△CDE，根據(jù)當點F是邊AB三等分點時，則AF=3或AF=6，分AF=3時和AF=6時利用相似三角形對應邊的比相等列出方程求得AE的長，從而求得t值；
（2）設CM=t，F(xiàn)在邊AB上時，用t表示線段AF、ND、AN，然后分FN=MN時和FN=FM時兩種情況利用等腰三角形的性質求得t值即可．

解答：解：（1）∵AB∥CD，
∴△AFE∽△CDE，
當點F是邊AB三等分點時，則AF=3或AF=6，
（i）AF=3時，∵

AF

CD

=

AE

EC

，
∴

3

9

=

AE

9 2 -AE

，
∴AE=

9 2

4

，
∴t=

9

4

（ii）同理，AF=6，AE=

18 2

5

，
∴t=

18

5

．

（2）設CM=t，F(xiàn)在邊AB上時，用t表示線段AF、ND、AN：
由△AFE∽△CDE，
∴

AE

9

=

2 t

9 2 - 2 t

，
得AF=

9t

9-t

．
又∵△MND∽△DFA，
∴

ND

AF

=

MD

AD

，解得ND=t．
∴AN=DM=9-t，
①當FN=MN時，則由AN=DM，
∴△FAN≌△NDM，
∴AF=ND，即

9t

9-t

=t，得t=0，不合題意．
∴此種情形不存在；
②當FN=FM時，由MN⊥DF，等腰三角形三線合一，得HN=HM=HD，
∴△NDM是等腰Rt△，DN=DM=MC，
∴M為中點，
∴t=

9

2

．

點評：本題是運動型幾何綜合題，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命題證明等知識點．解題要點是：（1）明確動點的運動過程；（2）明確運動過程中，各組成線段、三角形之間的關系；（3）運用分類討論的數(shù)學思想，避免漏解．