Question

如圖，正方形ABCD的邊長為2，點E在邊AD上（不與A、D重合），點F在邊CD上，且∠EBF=45°．△ABE的外接圓O與BC、BF分別交于點G、H．

（1）在圖1中作出圓O，并標出點G和點H；
（2）若EF∥AC，試說明

BG

與

GH

的大小關(guān)系，并說明理由；
（3）如圖2所示，若圓O與CD相切，試求△BEF的面積．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意利用同一圓中相等的弦所對的圓周角相等畫出圖形即可；
（2）連接BD、EG、EH，先由已知得出BD為EF的中垂線，再得出∠BEG=22.5°=∠HBG，即可得出

BG

=

GH

；
（3）將△BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△BAP，過點B作BQ⊥EF，設(shè)⊙O與CD相切于點M，連接OM，延長MO交AB于點N，由已知得出△BPE≌△BFE，進而得出△AEB≌△QEB，可得C_△EFD=4，再利用中位線出a的值，利用直角三角形得出b的值，即可求出△BEF的面積．

解答：解：（1）如圖1，

（2）如圖2，連接BD、EG、EH，

∵EF∥AC，
∴DE=DF，
又∵BD平分∠EDF，
∴BD為EF的中垂線，
∴BE=BF，BD平分∠EBF，
又∵∠EBF=45°=∠DBC，
∴∠EBD=∠DBF=∠HBG=22.5°，
∴∠EBG=67.5°，
又∵∠EGB=90°，
∴∠BEG=22.5°=∠HBG，
∴

BG

=

GH

，
（3）如圖3，將△BCF繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°到△BAP，過點B作BQ⊥EF，設(shè)⊙O與CD相切于點M，連接OM，延長MO交AB于點N，

在△BPE與△BFE中，

BP=BF ∠PBE=∠EBF BE=BE

，
∴△BPE≌△BFE（SAS），
∴∠AEB=∠BEQ，PE=EF，
由∠AEB=∠BEQ可知，
在△AEB和△QEB中，

∠BAE=∠BQE ∠AEB=∠BEQ BE=BE

，
∴△AEB≌△QEB（AAS），
∴BQ=AB=2，
由PE=EF可知，
C_△EFD=ED+DF+EF=ED+DF+PE=ED+DF+PA+AE=ED+AE+DF+FC=4，
設(shè)AE=a，DF=b，則DE=2-a，BE=

4+a2

，
∵O為BE中點，且MN∥AD，
∴ON=

AE

2

=

a

2

，
∴OM=2-

a

2

，
又BE=2OM，
∴

4+a2

=4-a，解得a=

3

2

，
∴ED=

1

2

，
又∵C_△EFD=4，DF=b，
∴EF=4-b-

1

2

=

7

2

-b，
在RT△EDF中，（

1

2

）²+b²=（

7

2

-b）²，解得b=

12

7

，
∴EF=

7

2

-

12

7

=

25

14

，
∴S_△BEF=

1

2

×

25

14

×2=

25

14

．

點評：本題主要考查了圓的綜合題，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，利用三解形全等及方程靈活的求解．