Question

如圖，AB是⊙O的直徑，AM、BN分別切⊙O于點A、B，CD交AM，BN于點D、C，DO平分∠ADC．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AD=4，BC=9，求⊙O的半徑R．

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）6．

【解析】

試題分析：（1）過O點作OE⊥CD于點E，通過角平分線的性質得出OE=OA即可證得結論；

（2）過點D作DF⊥BC于點F，根據(jù)切線的性質可得出DC的長度，在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的長，從而可得出半徑．

試題解析：（1）過O點作OE⊥CD于點E，∵AM切⊙O于點A，∴OA⊥AD，又∵DO平分∠ADC，∴OE=OA，∵OA為⊙O的半徑，∴OE是⊙O的半徑，且OE⊥DC，∴CD是⊙O的切線；

（2）過點D作DF⊥BC于點F，∵AM，BN分別切⊙O于點A，B，∴AB⊥AD，AB⊥BC，∴四邊形ABFD是矩形，∴AD=BF，AB=DF，又∵AD=4，BC=9，∴FC=9﹣4=5，∵AM，BN，DC分別切⊙O于點A，B，E，∴DA=DE，CB=CE，∴DC=AD+BC=4+9=13，在Rt△DFC中，，∴DF=，∴AB=12，∴⊙O的半徑R是6．

考點：1．切線的判定與性質；2．全等三角形的判定與性質；3．勾股定理；4．圓周角定理．