Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1，0)，B(2，0)，C(0，2)三點．

(1)求這條拋物線表示的二次函數的表達式；

(2)點P是第一象限內此拋物線上的一個動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABPC的面積最大？

Answer 1

【答案】（1） y＝－x2＋x＋2；（2）當點P運動到點(1，2)的位置時，四邊形ABPC的面積最大．

【解析】

（1）設交點式y=a（x+1）（x-2），然后把C點坐標代入求出a即可得到拋物線的解析式；

（2）連結OP，如圖，設P（t，-t2+t+2），根據三角形面積公式，利用四邊形ABPC的面積=S△AOC+S△POC+S△OBP可表示出四邊形ABPC的面積=-t2+2t+3，然后利用二次函數的性質確定P點坐標．

(1)∵拋物線y＝ax2＋bx＋c經過點C(0，2)，∴c＝2.

把A(－1，0)，B(2，0)代入y＝ax2＋bx＋2，得

解得.

∴這條拋物線表示的二次函數的表達式為y＝－x2＋x＋2.

(2)設點P的坐標為(x，－x2＋x＋2)，四邊形ABPC的面積為S.連接OP，

則S＝S△AOC＋S△OCP＋S△OBP

＝×1×2＋×2x＋×2×(－x2＋x＋2)＝1＋x－x2＋x＋2

＝－x2＋2x＋3

＝－(x－1)2＋4.

∵a＝－1＜0，

∴當x＝1時，四邊形ABPC的面積最大．

當x＝1時，y＝－x2＋x＋2＝2，

∴點P的坐標為(1，2)．

即當點P運動到點(1，2)的位置時，四邊形ABPC的面積最大．